와룡: 폴른 다이너스티 (Wo Long: Fallen Dynasty)

 

올빼미 (The Night Owl)

 

파벨만스 (The Fabelmans)

 

차이나는 클라스 255회 : 세계의 문제적 지도자들 1, 무함마드 빈 살만

김수완 한국외국어대학교 중동·이슬람 모듈 교수

 

털사 킹 (Tulsa King)

 

위대한 수업, 그레이트 마인즈 (훙호펑, 인사이드 차이나 – 경제)

훙호펑

 

카지노

 

스즈메의 문단속 (Suzume)

위대한 수업, 그레이트 마인즈 (데이비드 샴보, 인사이드 차이나 – 정치)

데이비드 샴보

James Stewart의 미적분학 9판

'이렇게 진도를 적어가며 공부하면 끝까지 다 보지 않을까' 하는 마음으로 적기 시작했는데...다 봤다. 😂

기간	목차	페이지
'23.03.21	15.9 발산정리	1114~1119
'23.03.20	15.8 스토크스 정리	1107~1112
'23.03.15	15.7 면적분	1094~1104
'23.03.09	15.6 매개변수곡면과 그 넓이	1080~1091
'23.03.07	15.5 회전과 발산	1071~1078
'23.03.03	15.4 그린 정리	1062~1069
'23.02.28	15.3 선적분의 기본 정리	1051~1060
'23.02.24	15.2 선적분	1038~1048
'23.02.22	15.1 벡터장	1030~1036
'23.02.10	14.9 다중적분의 변수변환	1019~1027
'23.02.08	14.8 구면좌표로 나타낸 삼중적분	1012~1016
'23.02.06	14.7 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분	1005~1009
'23.02.02	14.6 삼중적분	992~1001
'23.01.26	14.5 곡면의 넓이	989~990
'23.01.18	14.4 이중적분의 응용	978~987
'23.01.06	14.3 극좌표에서의 이중적분	970~975
'22.12.27	14.2 일반 영역 위에서의 이중적분	960~967
'22.12.23	14.1 직사각형 위에서의 이중적분	945~957
'22.12.21	13.8 라그랑주 승수	932~939
'22.12.19	13.7 최댓값과 최솟값	920~928
'22.12.15	13.6 방향도함수와 기울기 벡터	905~916
'22.12.13	13.5 연쇄법칙	895~902
'22.12.08	13.4 접평면과 선형근사	884~891
'22.12.06	13.3 편도함수	870~878
'22.12.02	13.2 극한과 연속성	859~868
'22.11.30	13.1 다변수함수	842~854
'22.11.25	12.4 공간에서의 운동: 속도와 가속도	827~836
'22.11.23	12.3 호의 길이와 곡률	815~824
'22.11.21	12.2 벡터함수의 도함수와 적분	808~813
'22.11.10	12.1 벡터함수와 공간곡선	800~806
'22.11.08	11.6 기둥면과 이차곡면	790~796
'22.11.07	11.5 직선과 평면의 방정식	778~787
'22.11.04	11.4 벡터곱	768~775
'22.11.02	11.3 내적	760~766
'22.11.01	11.2 벡터	749~757
'22.10.31	11.1 삼차원 좌표계	742~747
'22.10.28	10.11 테일러 다항식의 응용	730~737
'22.10.26	10.10 테일러 급수와 매클로린 급수	713~726
'22.10.24	10.9 함수의 멱급수 표현	705~711
'22.10.20	10.8 멱급수	700~704
'22.10.18	10.7 급수판정을 위한 전략	697~698
'22.10.18	10.6 비 판정법과 근 판정법	692~695
'22.10.17	10.5 교대급수와 절대수렴	683~690
'22.10.13	10.4 비교판정법	677~681
'22.10.12	10.3 적분판정법과 합의 추정	669~675
'22.10.11	10.2 급수	656~665
'22.10.07	10.1 수열	640~652
'22.10.06	9.6 극좌표에서의 원뿔곡선	631~637
'22.10.04	9.5 원뿔곡선	622~628
'22.09.30	9.4 극좌표에서의 넓이와 길이	614~619
'22.09.29	9.3 극좌표	604~611
'22.09.28	9.2 매개변수곡선의 미적분	592~598
'22.09.27	9.1 매개변수로 정의되는 곡선	580~586
'22.09.26	8.5 확률	571~577
'22.09.23	8.4 경제학과 생물학에서의 응용	566~569
'22.09.21	8.3 물리학과 공학에서의 응용	554~562
'22.09.19	8.2 회전체의 겉넓이	546~551
'22.09.19	8.2 회전체의 겉넓이	546~551
'22.09.13	8.1 호의 길이	538~543
'22.09.09	7.8 이상적분	524~532
'22.09.08	7.7 정적분의 근삿값	511~521
'22.09.07	7.6 컴퓨터와 표를 사용한 적분	504~508
'22.09.05	7.5 적분 전략	497~502
'22.09.02	7.4 부분분수에 의한 유리함수의 적분	486~495
'22.09.01	7.3 삼각치환	479~484
'22.08.31	7.2 삼각함수의 적분	471~477
'22.08.30	7.1 부분적분	464~468
'22.08.29	6.5 함수의 평균값	456~458
'22.08.26	6.4 일	449~453
'22.08.25	6.3 원통쉘 방법에 의한 부피 계산	441~446
'22.08.24	6.2 부피	427~437
'22.08.22	6.1 곡선으로 둘러싸인 영역의 넒이	416~422
'22.08.18	5.5 치환법	406~412
'22.08.17	5.4 부정적분과 변환정리	395~401
'22.08.16	5.3 미적분학의 기본 정리	384~391
'22.08.12	5.2 정적분	369~379
'22.08.11	5.1 넓이와 거리	356~365
'22.08.05	4.9 원시함수	345~350
'22.08.05	4.8 뉴턴 방법	339~343
'22.08.04	4.7 최적화 문제	324~330
'22.08.03	4.6 미분적분학과 그래핑 계산기를 사용한 그래프 그리기	316~322
'22.08.02	4.5 그래프 그리기 요약	307~314
'22.08.01	4.4 부정형과 로피탈 법칙	295~303
'22.07.29	4.3 그래프의 모양을 말해주는 도함수	282~291
'22.07.28	4.2 평균값 정리	275~280
'22.07.27	4.1 최댓값과 최솟값	264~271
'22.07.26	3.11 쌍곡선함수	254~259
'22.07.25	3.10 선형 근사와 미분	246~251
'22.07.22	3.9 상관 비율	239~243
'22.07.21	3.8 지수 증가와 감소	231~237
'22.07.20	3.7 자연과학과 사회과학에서 사용되는 변화율	217~226
'22.07.20	3.6 로그함수와 역삼각함수의 도함수	208~215
'22.07.19	3.5 음함수 미분법	200~205
'22.07.15	3.4 연쇄법칙	189~196
'22.07.14	3.3 삼각함수의 도함수	181~187
'22.07.13	3.2 곱 법칙과 몫 법칙	175~179
'22.07.13	3.1 다항함수와 지수함수의 도함수	164~171
'22.07.12	2.8 함수로서 도함수	149~157
'22.07.11	2.7 미분계수와 변화율	137~145
'22.07.08	2.6 무한대에서 극한: 수평점근선	123~134
'22.07.07	2.5 연속성	111~120
'22.07.07	2.4 극한의 엄밀한 정의	100~109
'22.07.06	2.3 극한법칙을 이용한 극한 계산	91~98
'22.07.06	2.2 함수의 극한	79~88
'22.07.06	2.1 접선과 속도 문제	74~77
'22.07.05	1.5 역함수와 로그	57~68
'22.07.05	1.4 지수함수	48~54
'22.07.05	1.3 알고 있는 함수에서 새 함수로	38~44
'22.07.04	1.2 수학적 모델	23~34
'22.07.04	1.1 함수를 표현하는 네 가지 방법	7~18

크리드 2 (CREED II)

위대한 수업, 그레이트 마인즈 (반다나 시바, 식량 주권 선언)

반다나 시바

The Last of Us

알기 쉬운 선형대수 제12판의 정의와 정리

Howard Anton의 알기 쉬운 선형대수 제12판은 앞서 나온 정의와 정리를 참조하는 경우가 많아 이를 아래와 같이 정리하여 쉽게 찾아보고자 한다.

1.2 가우스 소거법
정의 1 15p
연립일차방정식이 무수히 많은 해를 가질 때, 매개변수에 숫자를 넣어 해를 얻을 수 있는 매개변수 방정식들의 집합을 그 연립방정식의 일반해 (general solution)라고 한다.
정리 1.2.1 21p
동차 연립방정식에 관한 자유변수 정리 만약 동차 연립일차방정식이 \(n\)개의 미지수를 갖고, 그것의 첨가행렬의 기약 행사다리꼴이 \(r\)개의 0이 아닌 행을 갖는다면 이 연립방정식은 \(n-r\)개의 자유변수를 갖는다.
정리 1.2.2 21p
방정식보다 미지수가 더 많은 동차 연립일차방정식은 무수히 많은 해를 갖는다.
1.3 행렬과 행렬 연산
정의 1 28p
행렬(matrix)은 숫자들의 직사각형 배열이다. 배열 안에 있는 숫자들을 행렬의 원소(entry) 또는 성분이라고 한다.
정의 2 30p
두 행렬의 크기가 같고 서로 대응되는 원소가 같으면 두 행렬이 같다고 한다.
정의 3 31p
행렬 \(A\)와 \(B\)의 크기가 같으면, 합 \(A+B\)는 \(B\)의 원소에 대응되는 \(A\)의 원소를 더하여 얻을 수 있고 차 \(A-B\)는 \(A\)의 원소에서 대응되는 \(B\)의 원소를 빼서 얻을 수 있다. 다른 크기의 행렬들은 더하거나 뺄 수 없다.
정의 4 31p
\(A\)를 임의의 행렬 그리고 \(c\)를 임의의 스칼라라고 하면 곱 \(cA\)는 행렬 \(A\)의 모든 원소에 스칼라 \(c\)를 곱하여 얻어진다. 행렬 \(cA\)를 \(A\)의 스칼라곱이라고 한다.
정의 5 32p
\(A\)가 \(m \times r\) 행렬이고 \(B\)가 \(r \times n\) 행렬이면 곱 \(AB\)는 \(m \times n\) 행렬이고 그것의 원소는 다음과 같이 결정된다. \(AB\)의 \(i\)행과 \(j\)열에 있는 원소는 행렬 \(A\)의 \(i\)행과 행렬 \(B\)의 \(j\)열에 있는 대응되는 원소들의 곱을 더해서 얻어진다.
정의 6 35p
만약 \(A_1, A_2, ..., A_r\)이 같은 크기의 행렬이고 \(c_1, c_2, ..., c_r\)이 스칼라이면 \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_rA_r\)은 계수(coefficient)가 \(c_1, c_2, ..., c_r\)인 \(A_1, A_2, ..., A_r\)의 선형결합(linear cobination) 또는 일차결합이라고 한다.
정리 1.3.1 36p
만약 \(A\)가 \(m \times n\) 행렬이고 \(x\)가 \(n \times 1\) 열백터이면 곱 \(Ax\)는 계수가 \(x\)의 원소들인, \(A\)의 열백터들의 선형결합으로 표현된다.
정의 7 35p
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬이면 \(A^T\)로 표시되는 \(A\)의 전치행렬(transpose of A)은 \(n \times m\) 행렬이고 \(A\)의 행과 열을 바꾼 행렬이다. 즉, \(A^T\)의 첫 열은 \(A\)의 첫 행이고 \(A^T\)의 두 번째 열은 \(A\)의 두 번째 행이다.
정의 8 40p
만약 \(A\)가 정방행렬이면 \(A\)의 대각합(trace of A)은 \(tr(A)\)로 표시되고 \(A\)의 주대각선상에 있는 원소들의 합으로 정의된다. 만약 \(A\)가 정방행렬이 아니면 \(A\)의 대각합은 정의되지 않는다.
1.4 역행렬; 행렬의 대수적 성질
정리 1.4.1 44p
행렬 연산의 성질들 행렬들이 아래 연산들이 실행될 수 있는 크기를 갖고 있다고 가정한다. \( (a)\quad A+B = B+A \) \( (b)\quad A+(B+C)=(A+B)+C \) \( (c)\quad A(BC)=(AB)C \) \( (d)\quad A(B+C)=AB+AC \) \( (e)\quad (B+C)A=BA+CA \) \( (f)\quad A(B-C)=AB-AC \) \( (g)\quad (B-C)A=BA-CA \) \( (h)\quad a(B+C)=aB+aC \) \( (i)\quad a(B-C)=aB-aC \) \( (j)\quad (a+b)C=aC+bC \) \( (k)\quad (a-b)C=aC-bC \) \( (l)\quad a(bC)=(ab)C \) \( (m)\quad a(BC)=(aB)C=B(aC) \)
정리 1.4.2 47p
영행렬의 성질 \(c\)는 스칼라이고 행렬들은 연산들을 실행할 수 있는 크기를 갖는다고 하자. \( (a) \quad A+0=0+A=A \) \( (b) \quad A-0=A \) \( (c) \quad A-A=A+(-A)=0 \) \( (d) \quad 0A=0 \) \( (e) \quad cA=0\)이면 \(c=0\) 또는 \(A=0\) 이다.
정리 1.4.3 48p
만약 \(R\)이 \(n \times n\) 행렬 \(A\)의 기약 행사다리꼴이면 \(R\)은 0으로만 된 행을 갖거나 아니면 행렬 \(I_n\)이다.
정의 1 49p
만약 \(A\)가 정방행렬이고 같은 크기의 \(B\)가 \(AB=BA=I\)를 만족한다면 \(A\)는 가역(invertible) 또는 정칙(nonsingular)이라고 하고 \(B\)는 \(A\)의 역행렬(inverse matrix)이라고 한다. 만약 그와 같은 행렬 \(B\)가 존재하지 않으면 \(A\)는 특이행렬(singular matrix)이라고 한다.
정리 1.4.4 50p
\(B\)와 \(C\)가 모두 \(A\)의 역행렬이면 \(B=C\)이다.
정리 1.4.5 51p
행렬 \(A=\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}\)가 가역일 필요충분조건은 \(ad-bc\neq0\)이다. 이때 역행렬은 \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\)이다.
정리 1.4.6 52p
만약 행렬 \(A\)와 \(B\)가 같은 크기의 가역행렬이면 \(AB\)는 가역이고 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)이다.
정리 1.4.7 53p
행렬 \(A\)가 가역이고 \(n\)이 음이 아닌 정수라 하자. \( (a)\quad A^{-1} \)도 가역이고 \((A^{-1})^{-1}=A\). \( (b)\quad A^n\)도 가역이고 \((A^n)^{-1}=A^{-n}=(A^{-1})^n.\) \( (c)\quad\)임의의 0이 아닌 스칼라에 대해서 \(kA\)도 가역이고 \((kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}\).
정리 1.4.8 55p
다음에서 행렬들의 크기는 주어진 연산을 실행할 수 있도록 주어져 있다고 하자. \( (a)\quad (A^T)^T=A \) \( (b)\quad (A+B)^T=A^T+B^T\) \( (c)\quad (A-B)^T=A^T-B^T\) \( (d)\quad (kA)^T=kA^T\) \( (e)\quad (AB)^T=B^TA^T\)
정리 1.4.9 56p
\(A\)가 가역이면 \(A^T\)도 가역이고 \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)이다.
1.5 기본행렬과 \(A^{-1}\) 구하기
정의 1 59p
행렬 \(A\)와 \(B\)가 서로 기본 행연산을 통하여 얻을 수 있으면 이 두 행렬은 행동등(row equivalent)이라고 한다.
정의 2 60p
단위행렬에 기본 행연산을 한 번만 수행하여 얻은 행렬 \(E\)를 기본행렬(elementary matrix)이라고 한다.
정리 1.5.1 60p
행렬의 곱셈에 의한 행연산 기본행렬 \(E\)를 단위행렬 \(I_m\)에 기본 행연산을 한 번 실행하여 얻은 행렬이라고 하고 \(A\)를 \(m \times n\) 행렬이라고 하면, \(EA\)는 \(A\)에 같은 기본 행연산을 한 것과 같다.
정리 1.5.2 61p
모든 기본행렬은 가역이고 그 역행렬도 가역이다.
정리 1.5.3 62p
동등한 명제들 \(A\)가 \(n \times n\) 행렬이면, 다음 명제들은 동등하다, 즉 모두 참이거나 거짓이다. \( (a)\quad A\)는 가역이다. \( (b)\quad Ax=0\)은 자명해만을 갖는다. \( (c)\quad A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_n\)이다. \( (d)\quad A\)는 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다.
1.6 연립일차방정식과 역행렬에 관한 여러 가지 결과
정리 1.6.1 68p
연립일차방정식은 해가 없거나 하나의 해를 갖거나 무수히 많은 해를 갖는다. 다른 가능성은 없다.
정리 1.6.2 68p
\(A\)가 \(n \times n\)이고 가역인 행렬이면 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대해서 연립일차방정식 \(Ax=b\)는 유일 해 \(x=A^{-1}b\)를 갖는다.
정리 1.6.3 70p
\(A\)를 정방행렬이라고 하자. \( (a)\quad\) 만약 정방행렬 \(B\)가 \(BA=I\)를 만족하면 \(B=A^{-1}\)이다. \( (b)\quad\) 만약 정방행렬 \(B\)가 \(AB=I\)를 만족하면 \(B=A^{-1}\)이다.
정리 1.6.4 71p
동등한 명제들 \(A\)가 \(n \times n\) 행렬이면, 다음 명제들은 동등하다, 즉 모두 참이거나 거짓이다. \( (a)\quad A\)는 가역이다. \( (b)\quad Ax=0\)은 자명해만을 갖는다. \( (c)\quad A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_n\)이다. \( (d)\quad A\)는 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다. \( (e)\quad Ax=b\)는 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대해서 일치한다. \( (f)\quad Ax=b\)는 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대해서 유일 해를 갖는다.
정리 1.6.5 72p
\(A\)와 \(B\)를 같은 크기의 정방행렬이라고 하자. 만약 \(AB\)가 가역이면 \(A\)와 \(B\)도 가역이다.
1.7 대각행렬, 삼각행렬, 대칭행렬
정리 1.7.1 77p
\( (a)\quad\) 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬이고 상삼각행렬의 전치는 하삼각행렬이다. \( (b)\quad\) 하삼각행렬의 곱은 하삼각행렬이고 상삼각행렬의 곱은 상삼각행렬이다. \( (c)\quad\) 삼각행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 그것의 주대각선상의 원소가 모두 0이 아닌 것이다. \( (d)\quad\) 가역인 하삼각행렬의 역행렬은 하삼각행렬이고 가역인 상삼각행렬의 역행렬은 상삼각행렬이다.
정의 1 79p
정방행렬 \(A\)가 \(A=A^T\)일 때 대칭행렬(symmetric matrix)이라고 한다.
정리 1.7.2 79p
\(A\)와 \(B\)가 크기가 같은 대칭행렬이고 \(k\)는 임의의 스칼라이면, \( (a)\quad A^T\)는 대칭행렬이다. \( (b)\quad A+B\)와 \(A-B\)는 대칭행렬이다. \( (c)\quad kA\)는 대칭행렬이다.
정리 1.7.3 80p
두 대칭행렬의 곱이 대칭행렬이기 위한 필요충분조건은 두 행렬이 가환인 것이다.
정리 1.7.4 80p
\(A\)가 가역인 대칭행렬이면 \(A^{-1}\)도 대칭행렬이다.
정리 1.7.5 80p
\(A\)가 가역행렬이면 \(AA^T\)와 \(A^TA\)도 가역이다.
1.8 선형변환의 소개
정의 1 85p
\(T\)가 정의역이 \(R^n\)이고 공역이 \(R^m\)인 함수일 때, \(T\)를 \(R^n\)에서 \(R^m\)으로의 변환(transformation)이라고 한다. 또한 \(T\)는 \(R^n\)을 \(R^m\)으로 사상(map)한다고 하며, 다음과 같이 표기한다. \(T:R^n \to R^m\) \(n=m\)인 특수한 경우에 변환을 \(R^n\)에서의 연산자(operator)라고 한다.
정리 1.8.1 88p
모든 행렬 \(A\)에 대해서 행렬변환 \(T_A:R^n \to R^m\)은 모든 벡터 \(u\)와 \(v\), 그리고 스칼라 \(k\)에 대해 다음과 같은 성질을 갖는다. \( (a)\quad T_A(0)=0 \) \( (b)\quad T_A(ku)=kT_A(u) \) \( (c)\quad T_A(u+v)=T_A(u)+T_A(v) \) \( (d)\quad T_A(u-v)=T_A(u)-T_A(v) \)
정리 1.8.2 89p
\(T:R^n \to R^m\)이 행렬변환이기 위한 필요충분조건은 \(R^n\)에 있는 모든 벡터 \(u\)와 \(v\), 임의의 스칼라 \(k\)에 대해서 다음 관계가 만족되는 것이다. \( (i)\quad T(u+v)=T(u)+T(v) \) \( (ii)\quad T(ku)=kT(u) \)
정리 1.8.3 89p
\(R^n\)에서 \(R^m\)으로 가는 모든 선형변환은 행렬변환이다. 역으로 \(R^n\)에서 \(R^m\)으로 가는 모든 행렬변환은 선형변환이다.
정리 1.8.4 90p
\(T_A:R^n \to R^m\)과 \(T_B:R^n \to R^m\)이 행렬변환이고 모든 \(R^n\)에 있는 \(x\)에 대해서 \(T_A(x)=T_B(x)\)이면 \(A=B\)이다.
1.9 행렬변환의 합성
정리 1.9.1 100p
만약 \(T_A:R^n \to R^k\)와 \(T_B:R^k \to R^m\)이 행렬변환이면 \(T_B \circ T_A\)도 행렬변환이고 \(T_B \circ T_A=T_{BA}\) 이다.
1.10 연립일차방정식의 응용
정리 1.10.1 117p
다항식 보간법 \(xy\)-평면에 있는 임의의 서로 다른 \(n\)개의 점이 주어지면 이 점들을 통과하는 차수가 \(n-1\)보다 작거나 같은 다항식이 유일하게 존재한다.
1.11 레온티예프 투입-산출 모델
정리 1.11.1 117p
\(C\)가 열린 경제의 소비행렬이고 모든 열의 합이 1보다 적으면 행렬 \(I-C\)는 가역이고 \((I-C)^{-1}\)의 원소들은 음수가 아니며 경제는 생산적이다.
2.1 여인수 전개에 의한 행렬식
정의 1 132p
\(A\)가 정방행렬일 때 원소 \(a_{ij}\)의 소행렬식(minor of entry \(a_{ij}\))은 기호 \(M_{ij}\)로 나타내고 행렬 \(A\)의 \(i\)번째 행과 \(j\)번째 열을 제거하여 만든 부분행렬의 행렬식으로 정의된다. 수 \((-1)^{i+j}M_{ij}\)를 기호 \(C_{ij}\)로 나타내고 원소 \(a_{ij}\)의 여인수(cofactor of entry \(a_{ij}\))라 부른다.
정리 2.1.1 134p
\(A\)가 \(n \times n\) 행렬이면, \(A\)의 어떤 행 또는 열을 선택하는가에 상관없이, 선택된 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 더하여 얻은 수는 항상 같다.
정의 2 135p
\(A\)가 \(n \times n\) 행렬이면, \(A\)의 임의의 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 합하여 얻은 수를 \(A\)의 행렬식(determinant of A)이라 하고, 합 자체는 \(A\)의 여인수의 전개(cofactor expansions of A)라고 부른다. 즉, \(det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}\) 그리고 \(det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}\)
정리 2.1.2 137p
\(A\)가 \(n \times n\) 삼각행렬(상삼각, 하삼각, 또는 대각)이면 \(det(A)\)는 행렬의 주대각선상의 원소들의 곱이다. 즉, \(det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\).
2.2 행 축소에 의한 행렬식 계산
정리 2.2.1 140p
정방행렬 \(A\)가 영행 또는 영열을 가지면, \(det(A)=0\)이다.
정리 2.2.2 141p
정방행렬 \(A\)에 대하여, \(det(A)=det(A^T)\)이다.
정리 2.2.3 141p
\(A\)를 \(n \times n\) 행렬이라 하자. \((a)\quad\) \(B\)가 \(A\)의 한 행 또는 한 열에 스칼라 \(k\)를 곱해서 얻어진 행렬이면 \(det(B)=kdet(A)\)이다. \((b)\quad\) \(B\)가 \(A\)의 두 행 또는 두 열을 교환해서 얻어진 행렬이면 \(det(B)=-det(A)\)이다. \((c)\quad\) \(B\)가 \(A\)의 한 행(또는 열)에 스칼라 \(k\)를 곱한 후 다른 행(또는 열)에 더해서 얻어진 행렬이면 \(det(B)=det(A)\)이다.
정리 2.2.4 142p
\(E\)를 \(n \times n\) 기본행렬이라 하자. \((a)\quad\) \(E\)가 \(I_n\)의 한 행에 영이 아닌 스칼라 \(k\)를 곱해서 얻어진 기본행렬이면 \(det(E)=k\)이다. \((b)\quad\) \(E\)가 \(I_n\)의 두 행을 교환하여 얻어진 기본행렬이면 \(det(E)=-1\)이다. \((c)\quad\) \(E\)가 \(I_n\)의 한 행의 배수를 다른 행에 더하여 얻어진 기본행렬이면 \(det(E)=1\)이다.
정리 2.2.5 143p
\(A\)가 두 비례하는 행 또는 열을 갖는 정방행렬이면 \(det(A)=0\)이다.
2.3 행렬식의 성질; 크라머의 규칙
정리 2.3.1 148p
\(A, B, C\)가 제\(r\)행 한 행만이 다른 \(n \times n\)행렬이라고 하자. \(C\)의 제\(r\)행은 \(A\)와 \(B\)의 제\(r\)행의 대응하는 원소들을 더하여 얻어진 것이라 가정하면, \(det(C)=det(A)+det(B)\) 이다. 같은 결과는 열에 대해서도 성립한다.
보조정리 2.3.2 149p
\(B\)가 \(n \times n\)행렬, \(E\)가 \(n \times n\)기본행렬이면, \(det(EB)=det(E)det(B)\)이다.
정리 2.3.3 149p
정방행렬 \(A\)가 가역이기 위한 필요충분조건은 \(det(A) \neq 0\)이다.
정리 2.3.4 150p
\(A, B\)가 같은 크기의 정방행렬이면, \(det(AB)=det(A)det(B)\)이다.
정리 2.3.5 151p
\(A\)가 가역행렬이면, \(det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\)
정의 1 152p
\(A\)가 \(n \times n\)행렬이고 \(C_{ij}\)가 \(a_{ij}\)의 여인수이면, 행렬 \(\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix}\) 을 \(A\)의 여인수 행렬(matrix of cofactors from A)이라 한다. 또한 이 행렬의 전치행렬을 \(A\)의 딸림행렬(adjoint matrix of A)이라 하고 \(adj(A)\)로 나타낸다.
정리 2.3.6 153p
딸림행렬을 이용한 역행렬 구하기 \(A\)가 가역행렬이면, \(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
정리 2.3.7 155p
크라머의 규칙 \(Ax=b\)가 \(n\)개의 미지수와 \(n\)개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식이고 \(det(A) \neq 0\)이면 연립일차방정식은 유일한 해를 갖는다. 해는 \(x_1=\frac{det(A_1)}{det(A)}, x_2=\frac{det(A_2)}{det(A)},\cdots,x_n=\frac{det(A_n)}{det(A)}\) 이다. 여기서 \(A_j\)는 \(A\)의 제\(j\)열의 원소들을 행렬 \(b= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}\) 의 원소들로 대체해서 얻은 행렬이다.
정리 2.3.8 157p
동등한 명제들 \(A\)가 \(n \times n\) 행렬이면, 다음 명제들은 동등하다. \( (a)\quad A\)는 가역이다. \( (b)\quad Ax=0\)은 자명해만을 갖는다. \( (c)\quad A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_n\)이다. \( (d)\quad A\)는 기본행렬들의 곱으로 쓰여질 수 있다. \( (e)\quad\) 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 \(Ax=b\)는 해를 갖는다. \( (f)\quad\) 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 \(Ax=b\)의 해는 오직 하나이다. \( (g)\quad det(A) \neq 0\).
3.1 2차원, 3차원 그리고 n차원 공간에서의 벡터
정의 1 169p
\(n\)이 양의 정수일 때 \(n\)중 순서쌍은 \(n\)개의 실수로 이루어진 \((v_1,v_2,\cdots,v_n)\)이다. 모든 \(n\)중 순서쌍들의 집합을 \(n\)-공간이라하고 \(R^n\)으로 나타낸다.
정의 2 170p
\(R^n\)의 벡터 \(v=(v_1,v_2,\cdots,v_n), w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)\)에 대하여 \(v_1=w_1,v_2=w_2,\cdots,v_n=w_n\) 이면 \(v\)와 \(w\)가 같다(또는 동등하다)고 하고 \(v=w\)로 쓴다.
정의 3 171p
\(v=(v_1,v_2,\cdots,v_n), w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)\)이 \(R^n\)의 벡터이고 \(k\)가 임의의 스칼라이면 다음과 같이 정의한다. \(v+w=(v_1+w_1,v_2+w_2,\cdots,v_n+w_n)\) \(kv=(kv_1,kv_2,\cdots,kv_n)\) \(-v=(-v_1,-v_2,\cdots,-v_n)\) \(w-v=w+(-v)=(w_1-v_1,w_2-v_2,\cdots,w_n-v_n)\)
정리 3.1.1 172p
\(R^n\)의 벡터 \(u,v,w\)와 스칼라 \(k, m\)에 대하여 다음의 성질들이 성립한다. \((a)\quad u+v=v+u\) \((b)\quad (u+v)+w=u+(v+w)\) \((c)\quad u+0=0+u=u\) \((d)\quad u+(-u)=0\) \((e)\quad k(u+v)=ku+kv\) \((f)\quad (k+m)u=ku+mu\) \((g)\quad k(mu)=(km)u\) \((h)\quad 1u=u\)
정리 3.1.2 172p
\(v\)가 \(R^n\)의 벡터이고 \(k\)가 스칼라이면, \((a)\quad 0v=0\) \((b)\quad k0=0\) \((c)\quad (-1)v=-v\)
정의 4 173p
\(R^n\)의 벡터 \(w\)가 임의의 스칼라 \(k_1,k_2,\cdots,k_r\)에 대하여 \(w=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_rv_r\) 의 형태로 쓰여지면 \(w\)를 \(v_1,v_2,\cdots,v_r\)의 선형결합(linear combination) 또는 일차결합이라 한다. 이때 스칼라들을 선형결합의 계수(coefficient)라 부른다. \(r=1\)인 경우 위 식은 \(w=k_1v_1\)이 되므로 한 벡터의 선형결합은 단지 그 벡터의 스칼라 배수임을 알 수 있다.
3.2 \(R^n\)에서의 놈, 점곱, 거리
정의 1 177p
\(v=(v_1, v_2,\cdots,v_n)\)이 \(R^n\)의 벡터일 때, \(v\)의 놈(norm)(v의 길이 또는 크기)은 \(\lVert v \rVert\)로 표기되고, 식 \(\lVert v \rVert=\sqrt{ {v_1}^2+{v_2}^2+\cdots+{v_n}^2 }\) 으로 정의된다.
정리 3.2.1 177p
\(v\)가 \(R^n\)의 벡터이고 \(k\)가 임의의 스칼라이면, \((a)\quad \lVert v \rVert \ge 0\) \((b)\quad \lVert v \rVert=0\)일 필요충분조건은 \(v=0\)이다. \((c)\quad \lVert kv \rVert=\lvert k \rvert \lVert v \rVert\)
정의 2 180p
\(u=(u_1, u_2,\cdots,u_n)\)와 \(v=(v_1, v_2,\cdots,v_n)\)가 \(R^n\)의 점이면, \(u\)와 \(v\)사이의 거리는 \(d(u,v)\)로 표기되고 \(d(u,v)=\lVert u-v \rVert=\sqrt{ {(u_1-v_1)}^2+{(u_2-v_2)}^2+\cdots+{(u_n-v_n)}^2 }\) 으로 정의된다.
정의 3 180p
\(u, v\)가 \(R^2\)또는 \(R^3\)의 영이 아닌 벡터이고 \(\theta\)가 \(u, v\)사이의 각이면 \(u, v\)의 점곱(dot product)(또는 유클리드 내적)은 \(u \cdot v\)로 표시되고 \(u \cdot v=\lVert u \rVert \lVert v \rVert cos \theta\) 로 정의된다. 만일 \(u=0\)또는 \(v=0\)이면, \(u \cdot v=0\)으로 정의된다.
정의 4 182p
\(u=(u_1, u_2,\cdots,u_n)\)와 \(v=(v_1, v_2,\cdots,v_n)\)가 \(R^n\)의 벡터이면 \(u, v\)의 점곱(또는 유클리드 내적)은 \(u \cdot v\)로 표시되고 \(u \cdot v=u_1v_1+u_2v_2+ \cdots +u_nv_n\) 로 정의된다.
정리 3.2.2 184p
\(u, v, w\)가 \(R^n\)의 벡터이고 \(k\)가 스칼라이면 다음의 성질이 성립한다. \((a)\quad u \cdot v = v \cdot u\) \((b)\quad u \cdot (v+w) = u \cdot v + u \cdot w\) \((c)\quad k(u \cdot v)=(ku) \cdot v\) \((d)\quad v \cdot v \ge 0\)이다. \(v \cdot v = 0\)일 필요충분조건은 \(v=0\)이다.
정리 3.2.3 184p
\(u, v, w\)가 \(R^n\)의 벡터이고 \(k\)가 스칼라이면 다음의 성질이 성립한다. \((a)\quad 0 \cdot v = v \cdot 0=0\) \((b)\quad (u+v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w\) \((c)\quad u \cdot (v-w) = u \cdot v - u \cdot w\) \((d)\quad (u-v) \cdot w = u \cdot w - v \cdot w\) \((e)\quad k(u \cdot v)=u \cdot (kv)\)
정리 3.2.4 185p
코시-슈바르츠 부등식 \(u=(u_1, u_2,\cdots,u_n), v=(v_1, v_2,\cdots,v_n)\)가 \(R^n\)의 벡터이면, \(\lvert u \cdot v \rvert \le \lVert u \rVert \lVert v \rVert\) 이다. 또는 성분으로 써서 \(\lvert u_1v_1+u_2v_2+ \cdots +u_nv_n \rvert \le \sqrt{ {u_1}^2+{u_2}^2+\cdots+{u_n}^2 } \sqrt{ {v_1}^2+{v_2}^2+\cdots+{v_n}^2 } \) 이다.
정리 3.2.5 186p
\(u, v, w\)가 \(R^n\)의 벡터이면, \((a)\quad \lVert u+v \rVert \le \lVert u \rVert + \lVert v \rVert\) \((b)\quad d(u,v) \le d(u,w)+d(w,v)\)
정리 3.2.6 187p
벡터에 대한 평행사변형 등식 \(u, v\)가 \(R^n\)의 벡터이면, \({ \lVert u+v \rVert }^2 + { \lVert u-v \rVert }^2 = 2({ \lVert u \rVert }^2 + { \lVert v \rVert }^2)\) 이다.
정리 3.2.7 187p
\(u, v\)가 유클리드 내적을 가진 \(R^n\)의 벡터이면, \( u \cdot v=\frac{1}{4} { \lVert u+v \rVert }^2-\frac{1}{4} { \lVert u-v \rVert }^2\) 이다.
3.3 직교성
정의 1 193p
두 영이 아닌 \(n\)차원 벡터 \(u, v\)에 대하여 \(u \cdot v = 0\)이면 \(u, v\)는 직교한다(orthogonal 또는 수직이다)라고 한다. 또한 \(n\)차원 영벡터는 모든 \(R^n\)의 벡터와 직교한다.
정리 3.3.1 195p
\((a)\quad a, b\)가 상수이고 모두 영이 아니면, 방정식 \(ax+by+c=0\) \(\quad\quad\)은 \(n=(a,b)\)을 법선벡터로 갖는 2차원 평면의 직선을 나타낸다. \((a)\quad a, b, c\)가 상수이고 모두 영이 아니면, 방정식 \(ax+by+cz+d=0\) \(\quad\quad\)은 \(n=(a,b,c)\)을 법선벡터로 갖는 2차원 평면의 직선을 나타낸다.
정리 3.3.2 196p
사영정리 \(u, a\)가 \(n\)차원 벡터이고 \(a \neq 0\)이면, \(u\)는 \(u=w_1+w_2\)의 형태로 유일하게 표현될 수 있다. 여기서 \(w_1\)은 \(a\)의 스칼라배이고 \(w_2\)는 \(a\)에 직교하는 벡터이다.
정리 3.3.3 200p
\(R^n\)에서의 피타고라스 정리 \(u, v\)가 유클리드 내적을 갖는 \(R^n\)에서의 직교벡터이면 \({\lVert u+v \rVert}^2={\lVert u \rVert}^2+{\lVert v \rVert}^2\) 이다.
정리 3.3.4 201p
\((a)\quad R^2\)에서 점 \(P_0(x_0,y_0)\)와 직선 \(ax+by+c=0\) 사이의 거리 \(D\)는 \(D=\frac{\lvert ax_0+by_0+c \rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}\) \((b)\quad R^3\)에서 점 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\)와 평면 \(ax+by+cz+d=0\) 사이의 거리 \(D\)는 \(D=\frac{\lvert ax_0+by_0+cz_0+d \rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
3.4 선형계의 기하학
정리 3.4.1 206p
\(L\)을 \(R^2\) 또는 \(R^3\)에서 점 \(x_0\)을 포함하면서 영이 아닌 벡터 \(v\)에 평행한 직선이라 하자. 점 \(x_0\)을 포함하면서 영이 아닌 벡터 \(v\)에 평행한 직선의 방정식은 \(x=x_0+tv\) 이다. 만일 \(x_0=0\)이면 직선은 원점을 지나고 방정식은 \(x=tv\) 이다.
정리 3.4.2 206p
\(W\)을 점 \(x_0\)을 포함하고 동일 직선상에 있지 않은 두 벡터 \(v_1, v_2\)에 평행한 평면이라 하자. 점 \(x_0\)을 포함하고 벡터 \(v_1,v_2\)에 평행한 평면의 방정식은 \(x=x_0+t_1v_1+t_2v_2\) 이다. 만일 \(x_0=0\)이면 평면은 원점을 지나고 방정식은 \(x=t_1v_1+t_2v_2\) 의 형태를 갖는다.
정의 1 207p
\(x_0, v\)가 \(R^n\)의 벡터이고 \(v\)가 영이 아니면 방정식 \(x=x_0+tv\) 은 \(x_0\)을 지나면서 \(v\)에 평행한 직선을 정의한다.
정의 2 207p
\(x_0, v_1, v_2\)는 \(R^n\)의 영이 아닌 벡터이고 \(v_1, v_2\)가 동일 직선상에 있지 않으면 방정식 \(x=x_0+t_1v_1+t_2v_2\) 은 \(x_0\)을 지나면서 \(v_1, v_2\)에 평행한 평면을 정의한다.
정의 3 210p
\(x_0, x_1\)이 \(R^n\)의 벡터이면 방정식 \(x=x_0+t(x_1-x_0) \quad (0 \le t \le 1)\) 은 \(x_0\)와 \(x_1\)을 잇는 선분을 정의한다. 편리하게, 위 방정식은 \(x=(1-t)x_0+tx_1 \quad (0 \le t \le 1)\) 으로 쓸 수 있다.
정리 3.4.3 211p
\(A\)가 \(m \times n\)행렬이면 동차 연립방정식 \(Ax=0\)의 해집합은 \(A\)의 모든 행벡터에 직교하는 \(R^n\)의 벡터들로 구성된다.
3.5 외적
정의 1 214p
\(u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3)\)가 3-공간의 벡터이면 외적(cross product) \(u \times v\)는 \(u \times v=(u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1)\) 또는 행렬식 기호로 \(u \times v=(\begin{vmatrix}u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix}u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix}u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix})\) 으로 정의되는 벡터이다.
정리 3.5.1 215p
외적과 점곱이 포함된 관계 \(u, v, w\)가 3-공간의 벡터이면 다음이 성립한다. \( (a)\quad u \cdot (u \times v)=0 \) \( (b)\quad v \cdot (u \times v)=0 \) \( (c)\quad {\lVert u \times v \rVert}^2 = {\lVert u \rVert}^2{\lVert v \rVert}^2 - (u \cdot v)^2 \) \( (d)\quad u \times (v \times w)=(u \cdot w)v-(u \cdot v)w\) \( (e)\quad (u \times v) \times w=(u \cdot w)v-(v \cdot w)u\)
정리 3.5.2 217p
외적의 성질 \(u, v, w\)가 3-공간의 벡터이고 k가 임의의 스칼라이면 다음이 성립한다. \( (a)\quad u \times v=-(v \times u) \) \( (b)\quad u \times (v+w)=(u \times v)+(u \times w) \) \( (c)\quad (u+v) \times w=(u \times w)+(v \times w) \) \( (d)\quad k(u \times v) = (ku) \times v = u \times (kv) \) \( (e)\quad u \times 0 = 0 \times u = 0 \) \( (f)\quad u \times u = 0 \)
정리 3.5.3 219p
평행사변형의 넓이 \(u, v\)가 3-공간의 벡터이면 \(\lVert u \times v \rVert\)는 \(u, v\)에 의해 결정되는 평행사변형의 넓이이다.
정의 2 219p
\(u, v, w\)가 3-공간의 벡터이면 \(u \cdot (v \times w)\) 는 \(u, v, w\)의 스칼라 삼중곱(scalar triple product)이라 부른다.
정리 3.5.4 220p
\((a)\quad\) 행렬식 \(det\begin{bmatrix}u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{bmatrix}\) 의 절대값은 벡터 \(u=(u_1,u_2), v=(v_1,v_2)\)에 의해 결정되는 2-공간의 평행사변형의 넓이이다. \((b)\quad\) 행렬식 \(det\begin{bmatrix}u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\w_1 & w_2 & w_3\end{bmatrix}\) 의 절대값은 벡터 \(u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3), w=(w_1,w_2,w_3)\)에 의해 결정되는 3-공간의 평행육면체의 부피이다.
정리 3.5.5 222p
벡터 \(u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3), w=(w_1,w_2,w_3)\)가 같은 시점을 갖는다면, 이들이 같은 평면에 있기 위한 필요충분조건은 \(u \cdot (v \times w)=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}=0\) 이다.
4.1 실벡터공간
정의 1 228p
\(V\)를 두 연산 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의되는 개체들의 집합이라 하자. \(V\)는 공집합이 아니라고 가정한다. 여기서 덧셈(addition)이란 \(V\)의 임의의 한 쌍의 개체 \(u, v\)에 대하여 \(u\)와 \(v\)의 합(sum)이라 불리는 개체 \(u+v\)를 연관시키는 규칙을 뜻한다. 또한 스칼라 곱셈(scalar multiplication)이란, \(V\)의 임의의 개체 \(u\)와 임의의 스칼라 \(k\)에 대해서 스칼라배(scalar multiplication)라고 불리는 개체 \(ku\)를 연관시키는 규칙을 뜻한다. 다음 모든 공리가 \(V\)의 모든 개체 \(u,v,w\)와 모든 스칼라 \(k,m\)에 대하여 만족될 때 \(V\)를 벡터공간(vector space)이라고 하고 \(V\)의 개체를 벡터(vector)라 부른다. 1. \(u, v\)가 \(V\)의 개체이면 \(u+v\)도 \(V\)에 속한다. 2. \(u+v=v+u\) 3. \((u+v)+w=u+(v+w)\) 4. \(V\)의 모든 \(u\)에 대해서 \(u+0=0+u=u\)를 만족하는 개체 \(0\)이 \(V\)에 존재한다. 이것을 \(V\)의 영벡터(zero vector)라고 부른다. 5. \(V\)의 모든 \(u\)에 대해서 \(u+(-u)=(-u)+u=0\)을 만족하는 개체 \(-u\)가 \(V\)에 존재한다. 이것을 \(u\)의 음(negative)이라 부른다. 6. \(k\)가 임의의 스칼라이고 \(u\)가 \(V\)의 개체이면 \(ku\)는 \(V\)에 속한다. 7. \(k(u+v)=ku+kv\) 8. \((k+m)u=ku+mu\) 9. \(k(mu)=(km)(u)\) 10. \(1u=u\)
정리 4.1.1 233p
\(V\)는 벡터공간, \(u\)는 \(V\)의 벡터, \(k\)는 스칼라라고 할 때, \((a)\quad 0u=0\) \((b)\quad k0=0\) \((c)\quad (-1)u=-u\) \((d)\quad\)만약 \(ku=0\)이면, \(k=0\)이거나 \(u=0\)이다.
4.2 부분공간
정리 4.2.1 237p
부분공간 테스트 벡터공간 \(V\)의 공집합이 아닌 부분집합 \(W\)가 \(V\)의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 것이다. \((a)\quad\) 만약 \(u\)와 \(v\)가 \(W\)의 벡터이면 \(u+v\)도 \(W\)의 벡터이다. \((b)\quad\) \(k\)가 임의의 스칼라이고 \(u\)가 \(W\)의 벡터이면 \(ku\)도 \(W\)의 벡터이다.
정리 4.2.2 243p
\(W_1, W_2, \cdots, W_r\)이 벡터공간 \(V\)의 부분공간이면, 이들 부분공간의 교집합 또한 \(V\)의 부분공간이다.
정리 4.2.3 243p
\(n\)개의 변수를 가진 동차 연립방정식 \(Ax=0\)의 해집합은 \(R^n\)의 부분공간이다.
정리 4.2.4 244p
만약 \(A\)가 \(m \times n\)행렬이면, 행렬변환 \(T_A: R^n \to R^m\)의 핵은 \(R^n\)의 부분공간이다.
4.3 생성집합
정의 1 247p
\(V\)의 벡터 \(w\)가 다음 식과 같이 표현될 때 \(w\)를 \(V\)내의 벡터 \(v_1, v_2, \cdots, v_r\)의 선형결합(linear combination) 또는 일차결합이라 한다. \(w=k_1v_1+k_2v_2+\cdots +k_rv_r\) 여기서 \(k_1,k_2,\cdots,k_r\)은 스칼라이고 선형결합의 계수(coefficient)라 불린다.
정리 4.3.1 247p
\(S={w_1,w_2,\cdots,w_r}\)가 벡터공간 \(V\)내의 공집합이 아닌 벡터집합이면, \((a)\quad S\)내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합의 집합 \(W\)는 \(V\)의 부분공간이다. \((b)\quad (a)\)의 집합 \(W\)는 \(S\)내의 모든 벡터를 포함하는 \(V\)의 "가장 작은" 부분공간이다. 즉, 이들 벡터를 포함하는 또 다른 임의의 부분공간은 \(W\)를 포함한다.
정리 4.3.2 253p
\(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_r\}\)과 \(S'=\{w_1,w_2,\cdots,w_k\}\)이 벡터공간 \(V\)내의 공집합이 아닌, 벡터들의 집합이라고 한다면, \(span\{v_1,v_2,\cdots,v_r\}=span\{w_1,w_2,\cdots,w_k\}\) 이 성립할 필요충분조건은 \(S\)의 각 벡터가 \(S'\)의 벡터들의 선형결합이고 \(S'\)의 각 벡터는 \(S\)의 벡터들의 선형결합인 것이다.
4.4 선형독립
정의 1 256p
집합 \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_r\}\)가 벡터공간 \(V\)의 두 개 이상의 벡터의 집합이고, \(S\)의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 없다면, \(S\)는 선형독립집합(linearly independent set)이라고 한다. 선형독립이 아닌 집합은 선형종속집합(linearly dependent set)이라고 할 것이다. 만약 집합 \(S\)가 단 하나의 벡터로 구성되어 있다면, 그 집합이 선형독립인 필요충분조건은 그 벡터가 영벡터가 아닌 것이다.
정리 4.4.1 256p
벡터공간 \(V\)의 공집합이 아닌 집합 \(S\)가 선형독립이기 위한 필요충분조건은 벡터 방정식 \(k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_rv_r=0\) 을 만족시키는 계수가 \(k_1=0, k_2=0,\cdots,k_r=0\)인 것이다.
정리 4.4.2 259p
\((a)\quad\) 영벡터를 포함하는 유한집합은 선형종속이다. \((b)\quad\) 두 벡터만 갖는 집합이 선형독립이기 위한 필요충분조건은 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배로 되지 않는 것이다.
정리 4.4.3 261p
\(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_r\}\)이 \(R^n\)상의 벡터의 집합이라 하자. 만약 \(r \gt n\)이면 \(S\)는 선형종속이다.
정의 2 262p
만약 \(f_1=f_1(x), f_2=f_2(x),\cdots,f_n=f_n(x)\)가 구간 \((-\infty,\infty)\)에서 \(n-1\)번 미분 가능한 함수이면, 행렬식 \(W(x)=\begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x)\\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n'(x)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix} \) 를 \(f_1,f_2,\cdots,f_n\)의 론스키언(Wronskian)이라 한다.
정리 4.4.4 263p
만일 함수 \(f_1, f_2, \cdots, f_n\)이 구간 \((-\infty,\infty)\)에서 \(n-1\)개의 연속인 도함수를 가지고, 이들 함수의 론스키언이 \((-\infty,\infty)\)의 모든 \(x\)에 대하여 항상 영은 아니라고 하자. 그러면 이들 함수는 \(C^{(n-1)}(-\infty,\infty)\)의 벡터들의 선형독립집합을 이룬다.
4.5 좌표와 기저
정의 1 269p
만약 \(V\)가 임의의 벡터공간이고, \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)이 벡터 \(V\)안의 유한집합이라고 하면, \(S\)가 다음 두 조건을 만족할 때 \(V\)의 기저(basis)라고 한다. \((a)\quad S\)는 \(V\)를 생성한다. \((b)\quad S\)는 선형독립이다.
정리 4.5.1 272p
기저 표현의 유일성 \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)이 벡터공간 \(V\)의 기저라 하자. 그러면 \(V\)속의 모든 벡터 \(v\)는 단 한가지 방법으로 \(v=c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n\) 의 형식으로 표현할 수 있다.
정의 2 274p
\(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)가 벡터공간 \(V\)의 기저이고, \(v=c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n\) 이 기저 \(S\)를 이용한 벡터 \(v\)의 표현일 때, 스칼라 \(c_1,c_2,\cdots,c_n\)을 기저 \(S\)에 대한 \(v\)의 좌표(coordinate of v relative to the basis S)라 한다. 이들 좌표로 구성된 \(R^n\)의 벡터 \((c_1,c_2,\cdots,c_n)\)을 기저 \(S\)에 대한 \(v\)의 좌표벡터(coordinate vector of v relative to the basis S)라 하고, \((v)_s=(c_1,c_2,\cdots,c_m)\) 으로 표기한다.
4.6 차원
정리 4.6.1 279p
유한차원 벡터공간의 모든 기저는 동일한 개수의 벡터를 갖는다.
정리 4.6.2 279p
\(V\)가 유한차원 벡터공간이고, \(\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)을 임의의 기저라 하자. \((a)\quad V\)에 있는 집합이 \(n\)개보다 많은 벡터를 갖는다면, 그 집합은 선형종속이다. \((b)\quad V\)에 있는 집합이 \(n\)개보다 적은 벡터를 갖는다면, 그 집합은 \(V\)를 생성하지 못한다.
정의 1 279p
유한차원 벡터공간 \(V\)의 차원(dimension)은 \(dim(V)\)로 표기하고, \(V\)의 기저 내 벡터들의 개수로 정의한다. 또한 영벡터공간은 0차원을 갖는 것으로 정의한다.
정리 4.6.3 281p
더하기/빼기 정리 \(S\)를 벡터공간 \(V\)의 공집합이 아닌 벡터집합이라 하자. \((a)\quad S\)가 선형독립이고, \(v\)가 \(span(S)\)에 속하지 않는 \(V\)의 벡터이면, \(v\)를 \(S\)에 추가하여 얻어진 집합 \(S \cup \{v\}\) 또한 선형독립이다. \((b)\quad v\)가 \(S\)에 속하는 벡터로서 \(S\)에 속하는 나머지 벡터의 선형결합으로 표시될 수 있고, \(S - \{v\}\)가 \(v\)를 \(S\)에서 제거해서 얻어진 집합을 나타내면, \(S\)와 \(S-\{v\}\)는 같은 공간을 생성한다. 즉 \(span(S)=span(S-\{v\})\) 이다.
정리 4.6.4 282p
\(V\)가 \(n\)차원 벡터공간이고 \(S\)가 정확히 \(n\)개의 벡터를 갖는 \(V\)의 집합이라 하자. \(S\)가 \(V\)의 기저일 필요충분조건은 \(S\)가 \(V\)를 생성하든지 또는 \(S\)가 선형독립인 것이다.
정리 4.6.5 283p
\(S\)를 유한차원 벡터공간 \(V\)의 유한벡터집합이라 하자. \((a)\quad S\)가 \(V\)를 생성하나 \(V\)의 기저가 아니라면, \(S\)에서 적당한 벡터를 제거하여 \(V\)의 기저로 축소할 수 있다. \((b)\quad S\)가 선형독립집합이지만 \(V\)의 기저가 아니면, \(S\)에 \(V\)의 적당한 벡터를 추가하여 \(V\)의 기저로 확장할 수 있다.
정리 4.6.6 283p
\(W\)가 유한차원 벡터공간 \(V\)의 부분공간이면, \((a)\quad W\)는 유한차원이다. \((b)\quad dim(W) \leq dim(V)\)이다. \((c)\quad W=V\)일 필요충분조건은 \(dim(W)=dim(V)\)이다.
4.7 기저의 변경
정리 4.7.1 292p
\(P\)가 유한차원 벡터공간 \(V\)에 대해서 기저 \(B\)에서 기저 \(B'\)로의 전이행렬이면, \(P\)는 가역이고 \(P^{-1}\)은 \(B'\)에서 \(B\)로의 전이행렬이다.
정리 4.7.2 294p
벡터공간 \(R^n\)의 임의의 기저를 \(B=\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}\)이라 하고, \(R^n\)의 표준기저를 \(S=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)이라 하자. 이 기저들에 있는 벡터가 열 형태로 쓰여졌다면 \(P_{B \to S}=\{u_1|u_2|\cdots|u_n\}\) 이다.
4.8 행공간, 열공간, 영공간
정의 1 297p
\(m \times n\)행렬 \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} \) 에 대하여 \(A\)의 행으로 만들어지는 \(R^n\)의 벡터 \(r_1=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{bmatrix}\) \(r_2=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{bmatrix}\) \(\vdots\) \(r_m=\begin{bmatrix} a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\) 을 \(A\)의 행벡터(row vector)라 하고, \(A\)의 열로 만들어지는 \(R_m\)의 벡터 \(c_1=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} \), \(c_2=\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix}, \cdots \), \(c_n=\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \) 을 \(A\)의 열벡터(column vector)라 한다.
정의 2 298p
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬일 때, \(A\)의 행벡터에 의해 생성되는 \(R_n\)의 부분공간을 \(A\)의 행공간(row space)이라 하고 row(A)로 표기하며, \(A\)의 열벡터에 의해 생성되는 \(R^m\)의 부분공간을 \(A\)의 열공간(column space)이라 하고 col(A)로 표기한다. \(R^n\)의 부분공간인 동차 연립방정식 \(Ax=0\)의 해공간을 \(A\)의 영공간(null space)이라 하고 null(A)로 표기한다.
정리 4.8.1 298p
연립일차방정식 \(Ax=b\)가 해를 갖기 위한 필요충분조건은 \(b\)가 \(A\)의 열공간에 속하는 것이다.
정리 4.8.2 300p
\(x_0\)가 비동차 연립방정식 \(Ax=b\)의 어떤 해이고 \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_k\}\)가 \(A\)의 영공간 기저라면, \(Ax=b\)의 모든 해는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다. \(x=x_0+c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k\) 반대로, 스칼라 \(c_1,c_2,\cdots,c_k\)의 모든 값에 대해 이 공식에 있는 벡터 \(x\)는 \(Ax=b\)의 해이다.
정리 4.8.3 301p
\((a)\quad\) 행동등 행렬의 행공간은 동일하다. \((b)\quad\) 행동등 행렬의 영공간은 동일하다.
정리 4.8.4 302p
행렬 \(R\)이 행사다리꼴이면 선도 1(영이 아닌 행벡터)을 갖는 행벡터는 \(R\)의 행공간의 기저를 이루고, 행벡터의 선도 1을 갖는 열벡터는 \(R\)의 열공간의 기저를 이룬다.
정리 4.8.5 304p
\(A\)와 \(B\)가 행동등 행렬이라면 다음이 성립한다. \((a)\quad A\)의 주어진 열벡터 집합이 선형독립이기 위한 필요충분조건은 \(B\)의 대응 열벡터 집합이 선형독립인 것이다. \((b)\quad A\)의 주어진 열벡터 집합이 \(A\)의 열공간의 기저를 이루기 위한 필요충분조건은 \(B\)의 대응 열벡터 집합이 \(B\)의 열공간의 기저를 이루는 것이다.
4.9 랭크, 무효차수, 기본행렬공간
정리 4.9.1 311p
행렬 \(A\)의 행공간과 열공간의 차원은 같다.
정의 1 311p
행렬 \(A\)의 행공간과 열공간의 공통차원을 \(A\)의 랭크(rank)라 하고 rank(A)로 표기하며, \(A\)의 영공간의 차원을 \(A\)의 무효차수(nullity)라 하고 nullity(A)라고 표기한다.
정리 4.9.2 313p
행렬의 차원 정리 \(A\)가 \(n\)개의 열을 갖는 행렬이라면 다음이 성립한다. \(rank(A)+nullity(A)=n\)
정리 4.9.3 314p
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬이라면 다음이 성립한다. \((a)\quad rank(A)=Ax=0\)의 일반해에 있는 선도변수의 개수 \((b)\quad nullity(A)=Ax=0\)의 일반해에 있는 매개변수의 개수
정리 4.9.4 314p
\(A\)의 랭크가 \(r\)인 연립방정식 \(Ax=b\)가 \(n\)개의 미지수를 가지는 \(m\)개의 방정식으로 이루어진 연립방정식이라면 연립방정식의 일반해는 \(n-r\)개의 매개변수를 갖는다.
정리 4.9.5 315p
\(A\)가 임의의 행렬일 때 \(rank(A)=rank(A^T)\)이다.
정의 2 317p
\(W\)가 \(R^n\)의 부분공간일 때 \(W\)에 있는 모든 벡터와 직교하는 모든 \(R^n\) 벡터들의 집합을 \(W\)의 직교여공간(orthogonal complement)이라고 하고 기호 \(W^\perp\)로 표기한다.
정리 4.9.6 317p
만약 \(W\)가 \(R^n\)의 부분공간이라면, \((a)\quad W^\perp\)는 \(R^n\)의 부분공간이다. \((b)\quad W\)와 \(W^\perp\)에 공통적인 벡터는 \(0\)이다. \((c)\quad W^\perp\)의 직교여공간은 \(W\)이다.
정리 4.9.7 318p
만약 \(A\)가 \(m \times n\) 행렬이면, \((a)\quad A\)의 영공간과 \(A\)의 행공간은 \(R^n\)에서 서로의 직교여공간이다. \((b)\quad A^T\)의 영공간과 \(A\)의 열공간은 \(R^m\)에서 서로의 직교여공간이다.
정리 4.9.8 319p
동등한 명제들 \(A\)가 중복 행과 중복 열이 없는 \(n \times n\) 행렬이면, 다음 명제들은 동등하다. \( (a)\quad A\)가 가역이다. \( (b)\quad Ax=0\)은 자명한 해를 갖는다. \( (c)\quad A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_n\)이다. \( (d)\quad A\)는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. \( (e)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 해를 갖는다. \( (f)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 오직 하나의 해를 갖는다. \( (g)\quad det(A) \neq 0\). \( (h)\quad A\)의 열벡터가 선형독립이다. \( (i)\quad A\)의 행벡터가 선형독립이다. \( (j)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (k)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (l)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (m)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (n)\quad A\)의 랭크가 \(n\)이다. \( (o)\quad A\)의 무효차수가 0이다. \( (p)\quad A\)의 영공간의 직교여공간은 \(R^n\)이다. \( (q)\quad A\)의 행공간의 직교여공간은 \(\{0\}\)이다.
정리 4.9.9 320p
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬이라 하자. \((a)\quad\) (과도결정된 경우) 만약 \(m \gt n\)이면 연립방정식 \(Ax=b\)는 \(R^n\)에 있는 적어도 하나의 벡터 \(b\)에 대해 해를 갖지 않는다. \((b)\quad\) (과소결정된 경우) 만약 \(m \lt n\)이면 \(R^m\)에 있는 각 벡터 \(b\)에 대하여 연립방정식 \(Ax=b\)는 해를 갖지 않거나 또는 무수히 많은 해를 갖는다.
5.1 고유값과 고유벡터
정의 1 329p
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬일 때, \(R^n\)에 속하는 영이 아닌 벡터 \(x\)에 대하서 \(Ax\)가 \(x\)의 스칼라 배수이면, 즉 어떤 스칼라 \(\lambda\)에 대해서 \(Ax=\lambda x\) 이면, \(x\)를 \(A\)(혹은 행렬 연산자 \(T_A\))의 고유벡터(eigenvector)라 한다. 그리고 스칼라 \(\lambda\)를 고유값(eigenvalue)이라 하며 \(x\)를 \(\lambda\)에 대응하는 고유벡터라 한다.
정리 5.1.1 331p
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬이면, \(\lambda\)가 \(A\)의 고유값일 필요충분조건은 다음 방정식 \(det(\lambda I-A)=0\) 을 만족하는 것이다. 이 식을 \(A\)의 특성방정식(characteristic equation)이라 한다.
정리 5.1.2 333p
\(A\)가 \(m \times n\) 삼각행렬(상삼각, 하삼각 또는 대각행렬)이면, \(A\)의 고유값은 \(A\)의 주대각선상의 원소이다.
정리 5.1.3 333p
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬이면 다음은 동등하다. \((a)\quad \lambda\)가 \(A\)의 고유값이다. \((b)\quad \lambda\)가 특성방정식 \(det(\lambda I-A)=0\)의 해이다. \((c)\quad\) 연립방정식 \((\lambda I-A)x=0\)이 비자명해를 갖는다. \((d)\quad Ax=\lambda x\)를 만족하는 영이 아닌 벡터 \(x\)가 존재한다.
정리 5.1.4 337p
정방행렬 \(A\)가 가역이기 위한 필요충분조건은 \(\lambda=0\)이 \(A\)의 고유값이 아닌 것이다.
정리 5.1.5 338p
동등한 명제들 \(A\)가 중복 행과 중복 열이 없는 \(n \times n\) 행렬이면, 다음 명제들은 동등하다. \( (a)\quad A\)가 가역이다. \( (b)\quad Ax=0\)은 자명한 해를 갖는다. \( (c)\quad A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_n\)이다. \( (d)\quad A\)는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. \( (e)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 해를 갖는다. \( (f)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 오직 하나의 해를 갖는다. \( (g)\quad det(A) \neq 0\). \( (h)\quad A\)의 열벡터가 선형독립이다. \( (i)\quad A\)의 행벡터가 선형독립이다. \( (j)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (k)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (l)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (m)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (n)\quad A\)의 랭크가 \(n\)이다. \( (o)\quad A\)의 무효차수가 0이다. \( (p)\quad A\)의 영공간의 직교여공간은 \(R^n\)이다. \( (q)\quad A\)의 행공간의 직교여공간은 \(\{0\}\)이다. \( (r)\quad \lambda=0\)이 \(A\)의 고유값이 아니다.
5.2 대각화
정의 1 342p
\(A, B\)가 정방행렬일 때 \(B=P^{-1}AP\)를 만족하는 가역행렬 \(P\)가 존재하면, \(B\)는 \(A\)와 닮았다(B is similar to A)라고 한다.
정의 2 342p
정방행렬 \(A\)가 어떠한 대각행렬과 닮았으면, 즉 \(P^{-1}AP\)이 대각행렬이 되는 가역행렬 \(P\)가 존재하면 \(A\)가 대각화가능하다(diagonalizable)고 한다. 이 경우 행렬 \(P\)가 \(A\)를 대각화한다(diagonalizable)고 한다.
정리 5.2.1 343p
\(A\)가 \(n \times n\) 행렬이면 다음은 동등하다. \((a)\quad A\)가 대각화가능하다. \((b)\quad A\)가 \(n\)개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다.
정리 5.2.2 343p
\((a)\quad\)만약 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\)이 행렬 \(A\)의 서로 다른 고유값이고 \(v_1,v_2,\cdots,v_k\)가 대응하는 고유벡터이면 \(\{v_1,v_2,\cdots,v_k\}\)는 선형독립집합이다. \((b)\quad n\)개의 서로 다른 고유값을 가진 \(n \times n\)행렬은 대각화가능하다.
정리 5.2.3 347p
만약 \(k\)가 양의 정수이고, \(\lambda\)가 행렬 \(A\)의 고유값이고, \(x\)가 그에 대응하는 고유벡터이면, \(\lambda^k\)은 \(A^k\)의 고유값이며 \(x\)는 그에 대응하는 고유벡터이다.
정리 5.2.4 350p
기하 중복도와 대수 중복도 \(A\)가 정방행렬일 때, \((a)\quad A\)의 모든 고유값에 대해서 기하 중복도는 대수 중복도보다 작거나 같다. \((b)\quad A\)가 대각화가능이기 위한 필요충분조건은 모든 고유값에 대해서 기하 중복도가 대수 중복도와 같은 것이다.
5.3 복소벡터공간
정의 1 354p
\(n\)이 양의 정수일 때, \(n\)개의 복소수의 수열 \((v_1,v_2,\cdots,v_n)\)을 복소 \(n\)-순서쌍(complex n-tuple)이라고 한다. 모든 복소 \(n\)-순서쌍의 집합을 복소 \(n\)-공간(complex n-space)이라 하고 \(C^n\)으로 표시한다. 스칼라는 복소수이고, 덧셈, 뺄셈, 스칼라곱은 성분끼리 계산된다.
정리 5.3.1 356p
\(u\)와 \(v\)가 \(C^n\)의 벡터이고 \(k\)가 스칼라일 때 다음이 성립한다. \((a)\quad \overline{\overline{u}}=u\) \((b)\quad \overline{ku}=\overline{k}\overline{u}\) \((c)\quad \overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}\) \((d)\quad \overline{u-v}=\overline{u}-\overline{v}\)
정리 5.3.2 356p
\(A\)가 \(m \times k\) 복소행렬이고 \(B\)가 \(k \times n\) 복소행렬이면 다음이 성립한다. \((a)\quad \overline{\overline{A}}=A\) \((b)\quad (\overline{A^T})=(\overline{A})^T\) \((c)\quad \overline{AB}=\overline{A}\overline{B}\)
정의 2 356p
\(u=(u_1,u_2,\cdots,u_n), v=(v_1,v_2,\cdots,v_n)\)가 \(C^n\)의 벡터이면 \(u\)와 \(v\)의 복소 유클리드 내적(complex Euclidean inner prodcut)또는 복수점곱(complex dot product)은 \(u \cdot v\)로 표기하고 \(u \cdot v=u_1\overline{v}_1+u_2\overline{v}_2+\cdots+u_n\overline{v}_n\) 으로 정의한다. 또한 \(C^n\)의 유클리드 놈(Euclidean norm)을 \(\lVert v \rVert=\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{{\lvert v_1 \rvert}^2+{\lvert v_2 \rvert}^2+\cdots+{\lvert v_n \rvert}^2}\) 으로 정의한다.
정리 5.3.3 357p
\(u, v, w\)가 \(C^n\)내의 벡터이고, \(k\)가 스칼라일 때, 복소 유클리드 내적은 다음의 성질을 만족시킨다. \((a)\quad u \cdot v=\overline{v \cdot u}\) \((b)\quad u \cdot (v+w)=u \cdot v + u \cdot w\) \((c)\quad k(u \cdot v)=(ku) \cdot v\) \((d)\quad u \cdot kv = \overline{k}(u \cdot v)\) \((e)\quad v \cdot v \geq 0\)과 \(v \cdot v=0\)이기 위한 필요충분조건은 \(v=0\)이다.
정리 5.3.4 358p
\(\lambda\)가 \(n \times n\) 실행렬 \(A\)의 고유값이고 \(x\)가 이에 대응하는 고유벡터이면, \(\overline{\lambda}\)또한 \(A\)의 고유값이고 \(\overline{x}\)가 이에 대응하는 고유벡터이다.
정리 5.3.5 360p
\(A\)가 실수성분들로 구성된 \(2 \times 2\) 행렬이라면, \(A\)의 특성방정식은 \(\lambda^2-tr(A)\lambda+det(A)=0\)이고, 다음이 성립한다. \((a)\quad tr(A)^2-4det(A) \ge 0\)이면 \(A\)는 두 개의 서로 다른 실수 고유값을 가진다. \((b)\quad tr(A)^2-4det(A) = 0\)이면 \(A\)는 한 개의 중복된 실수 고유값을 가진다. \((b)\quad tr(A)^2-4det(A) \lt 0\)이면 \(A\)는 두 개의 복소켤레 고유값을 가진다.
정리 5.3.6 361p
\(A\)가 실대칭행렬이면 \(A\)는 실고유값을 갖는다.
정리 5.3.7 362p
실행렬 \( C=\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix} \) 의 고유값은 \(\lambda=a \pm bi\)이다. \(a\)와 \(b\)가 동시에 0이 아니면 이 행렬은 \( \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lvert \lambda \rvert & 0 \\ 0 & \lvert \lambda \rvert \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos \phi & -sin \phi \\ sin \phi & cos \phi \end{bmatrix} \) 와 같이 인수분해될 수 있다. 여기서 \(\phi\)는 양의 \(x\)축과 원점으로부터 점 \((a,b)\)를 지나는 사선 사이의 각이다.
정리 5.3.8 363p
\(A\)를 복소고유값 \(\lambda=a \pm bi\)를 갖는 \(2 \times 2\) 실행렬이라 하자(단, \(b \neq 0\)). \(x\)가 \(\lambda=a-bi\)에 대응하는 \(A\)의 고유벡터이면, 행렬 \(P=[Re(x) \; Im(x)]\)는 가역이고 \( A=P \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} P^{-1} \) 이 된다.
5.5 동적시스템과 마코프 체인
정의 1 378p
마코프 체인(Markov chain)은 연이은 동일 간격 시간에서의 상태벡터가 확률벡터이고 식 \(\textbf{x}(k+1)=P\textbf{x}(k)\) 로 연관되는 동적 시스템이다. 여기서 \(P=[p_{ij}]\)는 확률행렬이고, \(p_{ij}\)은 시간 \(t=k\)에서 상태가 \(j\)이면, 시간 \(t=k+1\)에서 상태가 \(i\)일 확률이다. 이 행렬 \(P\)를 이 시스템에 대한 전이행렬(transition matrix)이라고 한다.
정의 2 382p
만약 \(P\) 혹은 \(P\)의 어떤 양의 거듭제곱의 모든 원소가 양수이면 확률행렬 \(P\)가 정규적(regular)이라고 한다. 또한 전이행렬이 정규적인 마코프 체인을 정규 마코프 체인(regular Markov chain)이라고 한다.
정리 5.5.1 382p
만약 \(P\)가 정규 마코프 체인의 전이행렬이면, \((a)\quad P\textbf{q}=\textbf{q}\)를 만족하고 양의 원소를 갖는 유일한 확률벡터 \(\textbf{q}\)가 존재한다. \((b)\quad\) 모든 초기확률벡터 \(\textbf{x}_0\)에 대해 상태벡터의 열 \( \textbf{x}_0, P\textbf{x}_0, \cdots, P^k\textbf{x}_0, \cdots \) \(\quad\quad\) 은 \(\textbf{q}\)에 수렴한다. \((c)\quad\) 수열 \(P, P^2, \cdots, P^k, \cdots\)은 각 열벡터가 \(\textbf{q}\)인 행렬 \(Q\)에 수렴한다.
6.1 내적
정의 1 389p
실벡터공간 \(V\)상의 내적(inner product)은 \(V\)에 속하는 벡터 \(u\)와 \(v\)의 각 쌍에 실수 \(\langle u, v \rangle \)를 대응시키는 함수로, \(V\)에 속하는 모든 벡터 \(u, v, w\)와 모든 스칼라 \(k\)에 대해서 다음 공리들을 만족해야 한다. 1. \( \langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle \) 2. \( \langle u+v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle \) 3. \( \langle ku, v \rangle = k \langle u, v \rangle \) 4. \( \langle v, v \rangle \ge 0 \) 단, \( \langle v, v \rangle = 0 \Leftrightarrow v = 0 \) 내적을 갖는 실벡터공간을 실내적공간(real inner product space)이라 한다.
정의 2 390p
\(V\)를 실내적공간이라고 할 때 \(V\)에 속하는 벡터 \(v\)의 놈(norm) 또는 길이(length)를 \(\lVert v \rVert\)로 표시하고 \(\lVert v \rVert = \sqrt{\langle v, v \rangle} \) 로 정의한다. 그리고 두 벡터 사이의 거리(distance)를 \(d(u,v)\)로 표시하고 다음과 같이 정의한다. \(d(u,v)=\lVert u-v \rVert = \sqrt{\langle u-v, u-v \rangle} \) 놈이 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다.
정리 6.1.1 390p
만약 \(u\)와 \(v\)가 실내적공간 \(V\)안의 벡터이고 \(k\)가 스칼라라고 하면, \((a)\quad \lVert v \rVert \ge 0\) 단, 등호가 성립할 필요충분조건은 \(v=0\)이다. \((b)\quad \lVert k\textbf{v} \rVert = \lvert k \rvert \lVert \textbf{v} \rVert\). \((c)\quad d(u,v)=d(v,u)\). \((d)\quad d(u,v) \ge 0\) 단, 등호가 성립할 필요충분조건은 \(u=v\)이다.
정의 3 393p
\(V\)를 내적공간이라 할 때 \(\lVert u \rVert = 1\) 을 만족하는 \(V\)에 속하는 점들의 집합을 \(V\)의 단위구(unit sphere) [\(V=R^2\)이면 단위원(unit circle)]라고 한다.
정리 6.1.2 398p
\(u, v, w\)가 실내적공간 \(V\)안의 벡터들이고, \(k\)가 스칼라일 때 다음이 성립한다. \((a)\quad \langle 0,v \rangle = \langle v,0 \rangle = 0\) \((b)\quad \langle u,v+w \rangle = \langle u,v \rangle + \langle u,w \rangle\) \((c)\quad \langle u,v-w \rangle = \langle u,v \rangle - \langle u,w \rangle\) \((d)\quad \langle u-v,w \rangle = \langle u,w \rangle - \langle v,w \rangle\) \((e)\quad k \langle \textbf{u},\textbf{v} \rangle = \langle \textbf{u},k\textbf{v} \rangle\)
6.2 내적공간에서 각도와 직교성
정리 6.2.1 401p
코시-슈바르츠 부등식 만약 \(u\)와 \(v\)가 실내적공간 \(V\)안의 벡터라면 다음이 성립한다. \( \lvert \langle u, v \rangle \rvert \le \lVert u \rVert \lVert v \rVert \)
정리 6.2.2 403p
\(u, v, w\)를 실내적공간 \(V\)안의 벡터라고 하고, \(k\)를 임의의 스칼라라고 하면 다음이 성립한다. \((a)\quad \lVert u+v \rVert \le \lVert u \rVert + \lVert v \rVert \) \((b)\quad d(u,v) \le d(u,w) + d(w,v) \)
정의 1 404p
내적공간의 두 벡터 \(u\)와 \(v\)가 \(\langle u, v \rangle = 0\)을 만족하게 될 때 \(u\)와 \(v\)가 직교한다(orthogonal)고 한다.
정리 6.2.3 405p
일반화된 피타고라스 정리 내적공간에서 직교하는 두 벡터 \(u\)와 \(v\)에 대해 다음이 성립한다. \({\lVert u+v \rVert}^2={\lVert u \rVert}^2+{\lVert v \rVert}^2\)
정의 2 317p
만약 \(W\)를 내적공간 \(V\)의 부분공간이라고 하면, \(W\)의 모든 벡터와 직교하는 \(V\) 안의 모든 벡터들의 집합을 \(W\)의 직교여공간(orthogonal complement)이라고 하고 기호 \(W^\perp\)로 표시한다.
정리 6.2.4 406p
만약 \(W\)가 내적공간 \(V\)의 부분공간이라면 다음이 성립한다. \((a)\quad W^\perp\)는 \(V\)의 부분공간이다. \((b)\quad W \cap W^\perp = \{0\}\).
정리 6.2.5 407p
\(W\)를 유한차원 내적공간 \(V\)의 부분공간이라고 할 때, \(W^\perp\)의 직교여공간은 \(W\)가 된다. 즉, 다음이 성립한다. \({(W^\perp)}^\perp = W\)
6.3 그람-슈미트 과정; QR-분해
정의 1 412p
실내적공간의 2개 이상의 벡터들로 이루어진 집합에서 서로 다른 모든 벡터들이 서로 직교하면 그 집합을 직교집합(orthogonal set)이라고 한다. 모든 벡터의 놈이 1인 직교집합을 정규직교집합(orthonormal set)이라고 한다.
정리 6.3.1 413p
내적공간의 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교집합 \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)은 선형독립이다.
정리 6.3.2 414p
\((a)\quad\) 만약 \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)가 내적공간 \(V\)의 직교기저이고 \(u\)가 \(V\)안의 임의의 벡터라고 하면 다음이 성립한다. \( u=\frac{\langle u,v_1 \rangle}{{\lVert v_1 \rVert}^2} v_1 + \frac{\langle u,v_2 \rangle}{{\lVert v_2 \rVert}^2} v_2 + \cdots + \frac{\langle u,v_n \rangle}{{\lVert v_n \rVert}^2} v_n \) \((b)\quad\) 만약 \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)가 내적공간 \(V\)의 정규직교기저이고 \(u\)가 \(V\)안의 임의의 벡터라고 하면 다음이 성립한다. \( u=\langle u,v_1 \rangle v_1 + \langle u,v_2 \rangle v_2 + \cdots + \langle u,v_n \rangle v_n \)
정리 6.3.3 417p
사영정리 \(W\)가 내적공간 \(V\)의 유한차원 부분공간이면 \(V\)의 모든 벡터 \(u\)는 오직 한 가지 방법으로 다음과 같이 표현할 수 있다. \(u=w_1+w_2\) 여기서 \(w_1\)은 \(W\)안의 벡터이고, \(w_2\)는 \(W^\perp\)안의 벡터이다.
정리 6.3.4 418p
\(W\)를 내적공간 \(V\)의 유한차원 부분공간이라 하자. \((a)\quad\) \(\{v_1,v_2,\cdots,v_r\}\)이 \(W\)의 직교기저이고 \(u\)가 \(V\)의 임의의 벡터이면 \( proj_W u=\frac{\langle u,v_1 \rangle}{{\lVert v_1 \rVert}^2} v_1 + \frac{\langle u,v_2 \rangle}{{\lVert v_2 \rVert}^2} v_2 + \cdots + \frac{\langle u,v_r \rangle}{{\lVert v_r \rVert}^2} v_r \) \((b)\quad\) \(\{v_1,v_2,\cdots,v_r\}\)이 \(W\)의 정규직교기저이고 \(u\)가 \(V\)의 임의의 벡터이면 \( proj_W u=\langle u,v_1 \rangle v_1 + \langle u,v_2 \rangle v_2 + \cdots + \langle u,v_r \rangle v_r \)
정리 6.3.5 419p
영이 아닌 모든 유한차원의 내적공간은 정규직교기저를 갖는다.
정리 6.3.6 423p
만약 \(W\)가 유한차원의 내적공간이라면, \((a)\quad W\)안의 모든 영이 아닌 직교집합은 \(W\)의 직교기저로 확장될 수 있다. \((b)\quad W\)안의 모든 정규직교집합은 \(W\)의 정규직교기저로 확장될 수 있다.
정리 6.3.7 425p
QR-분해 \(A\)가 선형독립인 열벡터를 갖는 \(m \times n\)행렬이고 \(Q\)가 정규직교 열벡터를 갖는 \(m \times n\)행렬이며 \(R\)이 가역인 상삼각 \(n \times n\)행렬일 때 \(A\)는 \(A=QR\) 로 인수분해될 수 있다.
6.4 최적근사; 최소제곱
정리 6.4.1 430p
최적근사정리 \(W\)가 내적공간 \(V\)의 유한차원 부분공간이면 \(V\)의 임의의 벡터 \(b\)에 대해서 \(proj_W b\)는 \(W\)상의 벡터에 의한 \(b\)의 최적근사(best approximation)이다. 즉, \(proj_W b\)가 아닌 \(W\)상의 모든 \(w\)에 대해 다음이 성립한다. \(\lVert b - proj_W b \rVert \lt \lVert b - w \rVert \)
정리 6.4.2 431p
임의의 연립일차방정식 \(Ax = b\)에 대해 연관된 정규연립방정식 \(A^TAx=A^Tb\) 의 해가 존재하고, 상기 식의 모든 해는 \(Ax=b\)의 최소제곱이다. 더구나 \(W\)가 \(A\)의 열공간이고 \(x\)가 \(Ax=b\)의 임의의 최소제곱해이면 \(b\)에서 \(W\)로의 정사영은 다음과 같다. \(Ax=proj_W b\)
정리 6.4.3 434p
\(A\)가 \(m \times n\)행렬이면 다음은 동등하다. \((a)\quad A\)의 열벡터가 선형독립이다. \((b)\quad A^TA\)가 가역이다.
정리 6.4.4 434p
\(A\)가 선형독립 열벡터들로 이루어진 \(m \times n\)행렬이라고 하면, 모든 \(m \times 1\)행렬 \(b\)에 대해 선형시스템 \(Ax=b\)는 유일한 최소제곱해를 가진다. 이것의 해는 다음과 같이 주어진다. \(x=(A^TA)^{-1}A^Tb\) 또한 \(W\)가 \(A\)의 열공간이면 \(Ax=A(A^TA)^{-1}A^Tb=proj_W b \) 이다.
정리 6.4.5 436p
동등한 명제들 \(A\)가 중복 행과 중복 열이 없는 \(n \times n\) 행렬이면, 다음 명제들은 동등하다. \( (a)\quad A\)가 가역이다. \( (b)\quad Ax=0\)은 자명한 해를 갖는다. \( (c)\quad A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_n\)이다. \( (d)\quad A\)는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. \( (e)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 해를 갖는다. \( (f)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 오직 하나의 해를 갖는다. \( (g)\quad det(A) \neq 0\). \( (h)\quad A\)의 열벡터가 선형독립이다. \( (i)\quad A\)의 행벡터가 선형독립이다. \( (j)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (k)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (l)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (m)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (n)\quad A\)의 랭크가 \(n\)이다. \( (o)\quad A\)의 무효차수가 0이다. \( (p)\quad A\)의 영공간의 직교여공간은 \(R^n\)이다. \( (q)\quad A\)의 행공간의 직교여공간은 \(\{0\}\)이다. \( (r)\quad \lambda=0\)이 \(A\)의 고유값이 아니다. \( (s)\quad A^TA\)가 가역이다.
정리 6.4.6 437p
만약 \(A\)가 선형독립 열벡터를 가지는 \(m \times n\) 행렬이라고 하고, \(A=QR\)이 \(A\)의 \(QR\)-분해라고 할 때, \(R^m\)에 존재하는 각각의 \(b\)에 대해 \(Ax=b\)의 최소제곱해는 다음과 같이 주어진다. \(x=R^{-1}Q^Tb\)
6.5 최소제곱을 사용한 수학적 모형
정리 6.5.1 441p
회귀직선의 유일성 \((x_1,y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)\)이 2개 또는 그 이상의 자료점이고 모두가 하나의 수직선상에 있지 않으며 \( M=\begin{bmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_n \end{bmatrix} \) 그리고 \(y=\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}\) 이라고 하면, 이들 자료점에 대한 유일한 최소제곱직선 적합 \(y=a^*+b^* x\) 가 존재한다. 또한 \(v^*=\begin{bmatrix}a^* \\ b^* \end{bmatrix} \) 는 식 \(v^*=(M^TM)^{-1}M^Ty\) 로 주어지는데 이것은 \(v=v^*\)가 정규방정식 \(M^TMv=M^Ty\) 의 유일한 해라는 사실을 나타낸다.
6.6 함수 근사; 푸리에 급수
정리 6.6.1 449p
\(f\)가 \([a, b]\)에서 연속함수이고 \(W\)가 \(C[a, b]\)의 유한차원 부분공간이면 평균제곱오차 \( \int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}^2dx \) 를 최소화하는 \(W\)의 함수 \(g\)는 \(g=proj_W f\)이다. 여기서 정사영은 내적 \( \langle f,g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx \) 에 대한 것이다. 함수 \(g=proj_W f\)를 \(W\)에서 \(f\)에 대한 최소제곱근사(least squares approximation)라고 한다.
7.1 직교행렬
정의 1 457p
정방행렬 \(A\)가 전치행렬이 역행렬과 동일하면, 즉 \(A^{-1}=A^T\) 또는 \(AA^T=A^TA=I\) 이면 직교행렬이라 한다. \(A\)가 직교행렬이면 행렬변환 \(T_A:R^n \to R^n\)을 직교변환 또는 직교 연산자라 한다.
정리 7.1.1 458p
\(n \times n\) 행렬 \(A\)에 대하여 다음 명제들은 동등하다. \((a)\quad A\)가 직교행렬이다. \((b)\quad A\)의 행백터들이 유클리드 내적이 갖는 \(R^n\)에서 정규직교집합을 구성한다. \((c)\quad A\)의 열백터들이 유클리드 내적이 갖는 \(R^n\)에서 정규직교집합을 구성한다.
정리 7.1.2 459p
\((a)\quad\) 직교행렬의 전치행렬은 직교행렬이다. \((b)\quad\) 직교행렬의 역행렬은 직교행렬이다. \((c)\quad\) 직교행렬들의 곱은 직교행렬이다. \((d)\quad A\)가 직교행렬이면, \(det(A)=1\)이거나 \(det(A)=-1\)이다.
정리 7.1.3 460p
\(A\)가 \(n \times n\)행렬이면, 다음은 동등하다. \((a)\quad A\)가 직교행렬이다. \((b)\quad R^n\)의 모든 \(x\)에 대하여 \(\lVert Ax \rVert = \lVert x \rVert\)이다. \((c)\quad R^n\)의 모든 \(x\)와 \(y\)에 대하여 \(Ax \cdot Ay = x \cdot y\)이다.
정리 7.1.4 461p
\(S\)가 \(n\)차원 내적공간 \(V\)의 정규직교기저이고 \( (u)_s = (u_1, u_2, \cdots, u_n)\)이고 \( (v)_s=(v_1, v_2, \cdots, v_n) \) 이면 다음 명제가 성립한다. \((a)\quad \lVert u \rVert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} \) \((b)\quad d(u,v)=\sqrt{(u_1-v_1)^2 + (u_2-v_2)^2 + \cdots + (u_n-v_n)^2} \) \((c)\quad \langle u,v \rangle = u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n\)
정리 7.1.5 461p
\(V\)를 유한차원 내적공간이라 하자. \(P\)를 \(V\)의 정규직교기저에서 \(V\)의 다른 정규직교기저로의 전이행렬이라 하면 \(P\)는 정규직교행렬이다.
7.2 직교대각화
정의 1 467p
\(A\)와 \(B\)를 정방행렬이라 하자. \(B=P^TAP\)를 만족하는 직교행렬 \(P\)가 존재하면 \(A\)와 \(B\)는 직교적으로 닮았다(orthogonally similar)라고 한다.
정리 7.2.1 468p
\(A\)가 실수성분을 갖는 \(n \times n\)행렬이면 다음은 동등하다. \((a)\quad A\)가 직교대각화가 가능하다. \((b)\quad A\)가 \(n\)개의 고유벡터들로 구성된 정규직교집합을 갖는다. \((c)\quad A\)가 대칭행렬이다.
정리 7.2.2 468p
\(A\)가 실수성분을 갖는 \(n \times n\)행렬이면, \((a)\quad A\)의 고유값은 모두 실수이다. \((b)\quad\) 서로 다른 고유공간의 고유벡터는 직교한다.
정리 7.2.3 473p
슈어의 정리 실수성분을 갖는 \(n \times n\) 행렬 \(A\)가 실수 고유값을 가질 때, \(P^TAP\)가 다음 형태의 상삼각행렬 \( P^TAP=\begin{bmatrix} \lambda_1 & \times & \times & \cdots & \times \\ 0 & \lambda_2 & \times & \cdots & \times \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & \times \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{bmatrix} \) 이 되게 하는 직교행렬 \(P\)가 존재한다. 여기서 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)은 중복도에 따라 중복되는 \(A\)의 고유값이다.
정리 7.2.4 474p
헤센버그의 정리 실수성분을 갖는 \(n \times n\) 행렬 \(A\)에 대하여 \(P^TAP\)가 다음 형태 \( P^TAP=\begin{bmatrix} \times & \times & \cdots & \times & \times & \times \\ \times & \times & \cdots & \times & \times & \times \\ 0 & \times & \cdots & \times & \times & \times \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \times & \times & \times \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \times & \times \\ \end{bmatrix} \) 인 직교행렬 \(P\)가 존재한다.
7.3 이차형식
정리 7.3.1 479p
주축정리 \(A\)가 \(n \times n\) 대칭행렬이면, 이차형식 \(x^TAx\)를 혼합항이 없는 이차형식 \(y^TDy\)로 변환할 수 있는 직교변수변환이 존재한다. 특히 \(P\)가 \(A\)를 직교대각화하면 변수변환 \(x=Py\)는 이차형식 \(x^TAx\)를 이차형식 \( x^TAx=y^TDy=\lambda_1{y_1}^2+ \lambda_2{y_2}^2+\cdots+\lambda_n{y_n}^2 \) 으로 변환한다. 여기서 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)은 \(P\)의 연속적인 열을 구성하는 고유벡터에 대응하는 \(A\)의 고유값이다.
정의 1 485p
이차형식 \(x^TAx\)는 \(x \neq 0\)에 대하여 \(x^TAx \gt 0\)이면 양한정(positive definite), \(x \neq 0\)에 대하여 \(x^TAx \lt 0\)이면 음한정(negative definite), \(x^TAx\)가 양의 값이기도 하고 음의 값이기도 하면 부정(indefinite)이라 한다.
정리 7.3.2 485p
\(A\)가 대칭행렬이면, \((a)\quad x^TAx\)가 양한정이기 위한 필요충분조건은 모든 고유값이 양의 값인 것이다. \((b)\quad x^TAx\)가 음한정이기 위한 필요충분조건은 모든 고유값이 음의 값인 것이다. \((c)\quad x^TAx\)가 부정이기 위한 필요충분조건은 적어도 하나의 고유값이 양이고 적어도 하나의 고유값이 음인 것이다.
정리 7.3.3 486p
\(2 \times 2\) 대칭행렬에 대하여, \((a)\quad A\)가 양한정이면 \(x^TAx=1\)은 타원을 나타낸다. \((b)\quad A\)가 음한정이면 \(x^TAx=1\)은 그래프를 갖지 않는다. \((c)\quad A\)가 부정이면 \(x^TAx=1\)은 쌍곡선을 나타낸다.
정리 7.3.4 487p
\(A\)가 대칭행렬이면 \((a)\quad A\)가 양한정이기 위한 필요충분조건은 모든 주부분행렬의 행렬식이 양의 값인 것이다. \((b)\quad A\)가 음한정이기 위한 필요충분조건은 첫 번째와 홀수 번째 주부분행렬의 행렬식이 음의 값이고 짝수 번째 주부분행렬의 행렬식은 양의 값인 것이다. \((c)\quad A\)가 부정일 필요충분조건은 양한정도 아니고 음한정도 아니며, 적어도 한 개의 주부분행렬의 행렬식이 양의 값이고 적어도 한 개의 주부분행렬의 행렬식이 음의 값인 것이다.
7.4 이차형식을 이용한 최적화
정리 7.4.1 491p
제약된 극값 정리 \(A\)가 \(n \times n\) 대칭행렬이고 이것의 고유값이 크기가 감소하는 순서로 \(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots \ge \lambda_n \)이라면, \((a)\quad\) 이차형식 \(x^TAx\)는 \(\lVert x \rVert=1\)인 벡터의 집합상에서 최대값과 최소값이 발생한다. \((b)\quad x^TAx\)의 최대값은 고유값 \(\lambda_1\)에 대응하는 고유벡터에서 발생한다. \((c)\quad x^TAx\)의 최소값은 고유값 \(\lambda_n\)에 대응하는 고유벡터에서 발생한다.
정리 7.4.2 495p
이계도함수 판정법 \((x_0,y_0)\)를 \(f(x,y)\)의 임계점이라 하고 \(f\)는 \((x_0,y_0)\)가 중심인 적당한 원 영역에서 연속인 이계편도함수를 갖는다고 하면 \((a)\quad\) 만일 \( f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f_{xy}^2(x_0,y_0) \gt 0\) 이고 \(f_{xx}(x_0,y_0) \gt 0\) \(\qquad\) 이면 \(f\)는 \((x_0,y_0)\)에서 극소값을 갖는다. \((b)\quad\) 만일 \( f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f_{xy}^2(x_0,y_0) \gt 0\) 이고 \(f_{xx}(x_0,y_0) \lt 0\) \(\qquad\) 이면 \(f\)는 \((x_0,y_0)\)에서 극대값을 갖는다. \((c)\quad\) 만일 \( f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f_{xy}^2(x_0,y_0) \lt 0\) \(\qquad\) 이면 \(f\)는 \((x_0,y_0)\)에서 안장점을 갖는다. \((d)\quad\) 만일 \( f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f_{xy}^2(x_0,y_0) = 0\) \(\qquad\) 이면 이 방법으로 판정할 수 없다.
정리 7.4.3 495p
이계도함수 판정법의 헤시언 형식 \((x_0,y_0)\)를 \(f(x,y)\)의 임계점이라 하고 \(f\)는 \((x_0,y_0)\)가 중심인 적당한 원 영역에서 연속인 이계편도함수를 갖는다고 하자. \(H(x_0,y_0)\)가 \((x_0,y_0)\)에서 \(f\)의 헤시언일 때, \((a)\quad\ H(x_0,y_0)\)가 양한정이면 \(f\)는 \(x_0, y_0\)에서 극소값을 갖는다. \((b)\quad\ H(x_0,y_0)\)가 음한정이면 \(f\)는 \(x_0, y_0\)에서 극대값을 갖는다. \((c)\quad\ H(x_0,y_0)\)가 부정이면 \(f\)는 \(x_0, y_0\)에서 안장점을 갖는다. \((d)\quad\) 이외의 다른 경우에는 이 판정법으로 판정할 수 없다.
7.5 에르미트행렬, 유니터리행렬, 정규행렬
정의 1 499p
\(A\)가 복소행렬이라면, \(A\)의 켤레전치(conjugate transpose)는 \(A^*\)로 표기하며 \(A^*=\overline{A}^T\) 로 정의된다.
정리 7.5.1 500p
\(k\)는 복소수 스칼라이고 \(A, B\)는 주어진 연산이 수행될 수 있는 크기의 복소행렬이라 하면, \((a)\quad (A^*)^*=A\) \((b)\quad (A+B)^*=A^*+B^*\) \((c)\quad (A-B)^*=A^*-B^*\) \((d)\quad (kA)^*=\overline{k}A^*\) \((e)\quad (AB)^*=B^*A^*\)
정의 2 500p
정방복소행렬 \(A\)가 \(AA^*=A^*A=I\) 또는 동등하게 \(A^*=A^{-1}\) 이면 \(A\)를 유니터리행렬(unitary matrix)이라 하고 \(A^*=A\) 이면 에르미트행렬(Hermitian matrix)이라 한다.
정리 7.5.2 501p
\(A\)가 에르미트행렬이면 \((a)\quad A\)의 고유값은 모두 실수이다. \((b)\quad\) 서로 다른 고유공간의 고유벡터는 직교한다.
정리 7.5.3 503p
\(A\)가 복소성분을 갖는 \(n \times n\) 행렬이라면 다음은 동등하다. \((a)\quad A\)가 유니터리행렬이다. \((b)\quad C^n\)의 모든 \(x\)에 대하여 \(\lVert Ax \rVert = \lVert x \rVert\)이다. \((c)\quad C^n\)의 모든 \(x\)와 \(y\)에 대하여 \(Ax \cdot Ay=x \cdot y\)이다. \((d)\quad A\)의 열벡터가 복소 유클리드 내적에 대하여 \(C^n\)에서 정규직교집합을 구성한다. \((e)\quad A\)의 행벡터가 복소 유클리드 내적에 대하여 \(C^n\)에서 정규직교집합을 구성한다.
정의 3 504p
\(P^*AP=D\)가 복소대각행렬이 되는 유니터리행렬 \(P\)가 존재하면, 복소정방행렬 \(A\)가 유니터리대각화 가능하다(unitary diagonalizable)고 한다. 이러한 임의의 행렬 \(P\)는 \(A\)를 유니터리대각화한다(unitary diagonalize)고 한다.
정리 7.5.4 504p
모든 \(n \times n\) 에르미트행렬 \(A\)는 정규직교집합이 되는 \(n\)개의 고유벡터를 가지며 열벡터가 \(A\)의 고유벡터의 정규직교집합으로 구성되는 임의의 \(n \times n\) 행렬 \(P\)에 의하여 유니터리대각화된다.
8.1 일반선형변환
정의 1 512p
\(T:V \to W\)가 벡터공간 \(V\)에서 벡터공간 \(W\)로의 사상이고 \(V\)내의 모든 벡터 \(u\)와 \(v\), 그리고 모든 스칼라 \(k\)에 대하여 다음 두 가지의 성질을 만족하면 \(T\)는 \(V\)에서 \(W\)로의 선형변환(linear transformation)이라 한다. \((i)\quad T(k\textbf{u})=kT(\textbf{u})\) \((ii)\quad T(u+v)=T(u)+T(v)\) 특히 \(V=W\)인 경우에, 선형변환 \(T\)는 벡터공간 \(V\)에서의 선형 연산자(linear operator)라 한다.
정리 8.1.1 512p
\(T:V \to W\)가 선형변환이면 다음이 성립한다. \((a)\quad T(\textbf{0})=\textbf{0}\) \((b)\quad V\)의 모든 \(u\)와 \(v\)에 대하여 \(T(u-v)=T(u)-T(v)\) \((c)\quad V\)의 모든 \(v\)에 대하여 \(T(-v)=-T(v)\)
정리 8.1.2 516p
\(V\)가 유한차원일 때 \(T:V \to W\)를 선형변환이라 하자. \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)가 \(V\)의 기저라면, \(V\)의 임의의 벡터 \(v\)의 상은 다음과 같이 표현할 수 있다. \(T(v)=c_1T(v_1)+c_2T(v_2)+\cdots+c_nT(v_n)\) 여기서 \(c_1,c_2,\cdots,c_n\)은 \(v\)를 기저 \(S\)의 벡터의 선형결합으로 표현하는데 사용된 계수이다.
정의 2 518p
\(T:V \to W\)이 선형변환이면, \(T\)가 \(\textbf{0}\)으로 사상하는 \(V\)의 벡터들의 집합을 \(T\)의 핵(kernel)이라 하고 \(ker(T)\)이라 표기한다. \(V\)의 최소한 한 개의 벡터의 \(T\)에 의한 상이 되는 \(W\)의 모든 벡터들의 집합을 \(T\)의 치역(range)이라 하고 \(R(T)\)로 표기한다.
정리 8.1.3 520p
\(T:V \to W\)가 선형변환이면, \((a)\quad T\)의 핵은 \(V\)의 부분공간이다. \((b)\quad T\)의 치역은 \(W\)의 부분공간이다.
정의 3 521p
\(T:V \to W\)를 선형변환이라 하자. \(T\)의 치역이 유한차원이면 그 차원을 \(\textbf{T}\)의 랭크(rank of T)라 하고, \(T\)의 핵이 유한차원이면 그 차원은 \(\textbf{T}\)의 무효차수(nullity of T)라 한다. 이 차원들은 각각 \(rank(T), nullity(T)\) 로 표기한다.
정리 8.1.4 521p
선형변환의 차원정리 \(T:V \to W\)가 유한차원 벡터공간 \(V\)에서 벡터공간 \(W\)으로의 선형변환이면, \(T\)의 치역은 유한차원이고 rank(T)+nullity(T)=dim(V) 이다.
8.2 합성과 역변환
정의 1 526p
\(T:V \to W\)가 벡터공간 \(V\)에서 벡터공간 \(W\)로의 선형변환일 때, \(T\)가 \(V\)의 서로 다른 벡터를 \(W\)의 서로 다른 벡터로 사상한다면 \(T\)를 단사(또는 일대일, one-to-one)라 한다.
정의 2 526p
\(T:V \to W\)가 벡터공간 \(V\)에서 벡터공간 \(W\)로의 선형변환일 때, \(W\)내의 모든 벡터가 \(V\)내의 최소한 한 개의 벡터의 상이면 \(T\)는 전사(onto)[혹은 전사 W(onto W)]라 한다.
정리 8.2.1 526p
\(T:V \to W\)가 선형변환이면, 다음 명제는 동등하다. \((a)\quad T\)가 단사이다. \((b)\quad ker(T)=\{\textbf{0}\}\)이다.
정리 8.2.2 529p
\(V\)와 \(W\)가 동일한 차원의 유한차원 벡터공간이고, \(T:V \to W\)가 선형 연산자이면, 다음 명제는 동등하다. \((a)\quad T\)가 단사이다. \((b)\quad ker(T)=\{\textbf{0}\}\)이다. \((c)\quad T\)가 전사이다. [즉, \(R(T)=W\).]
정리 8.2.3 530p
\(T_A: R^n \to R^m\)이 행렬변환이면, \((a)\quad T_A\)가 단사일 필요충분조건은 \(A\)의 열들이 선형독립인 것이다. \((b)\quad T_A\)가 전사일 필요충분조건은 \(A\)의 열들이 \(R^m\)을 생성하는 것이다.
정리 8.2.4 동등한 명제들 530p
\(A\)가 중복되는 행이나 중복되는 열이 없는 \(n \times n\) 행렬이면, 다음 명제들은 동등하다. \( (a)\quad A\)가 가역이다. \( (b)\quad Ax=0\)은 자명한 해를 갖는다. \( (c)\quad A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_n\)이다. \( (d)\quad A\)는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. \( (e)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 해를 갖는다. \( (f)\quad\) \(Ax=b\)가 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대하여 오직 하나의 해를 갖는다. \( (g)\quad det(A) \neq 0\). \( (h)\quad A\)의 열벡터가 선형독립이다. \( (i)\quad A\)의 행벡터가 선형독립이다. \( (j)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (k)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)을 생성한다. \( (l)\quad A\)의 열벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (m)\quad A\)의 행벡터가 \(R^n\)에 대한 기저를 이룬다. \( (n)\quad A\)의 랭크가 \(n\)이다. \( (o)\quad A\)의 무효차수가 0이다. \( (p)\quad A\)의 영공간의 직교여공간은 \(R^n\)이다. \( (q)\quad A\)의 행공간의 직교여공간은 \(\{0\}\)이다. \( (r)\quad \lambda=0\)이 \(A\)의 고유값이 아니다. \( (s)\quad A^TA\)가 가역이다. \((t)\quad T_A\)의 핵이 \(\{\textbf{0}\}\)이다. \((u)\quad T_A\)의 치역이 \(R^n\)이다. \((v)\quad T_A\)가 단사이다.
정의 3 533p
\(T_1:U \to V\)와 \(T_2:V \to W\)를 선형변환이라고 하면, \(T_1\)과 \(T_2\)의 합성(composition of \(T_2\) with \(T_1\))은 \(T_2 \circ T_1\)("\(T_2\) 서클 \(T_1\)"이라 읽는다)로 표기하며, 다음 공식으로 정의되는 사상이다. \((T_2 \circ T_1)(\textbf{u})=T_2(T_1(\textbf{u}))\) 여기서 \(\textbf{u}\)는 U의 벡터이다.
정리 8.2.5 533p
\(T_1: U \to V\)와 \(T_2: V \to W\)가 선형변환이라면 \((T_2 \circ T_1):U \to W\)또한 선형변환이다.
정리 8.2.6 535p
\(T_1: U \to V\)와 \(T_2: V \to W\)가 단사선형변환이면 \((a)\quad T_2 \circ T_1\)은 단사이다. \((b)\quad (T_2 \circ T_1)^{-1}=T_1^{-1} \circ T_2^{-1}\)
8.3 동형사상
정의 1 540p
선형변환 \(T:V \to W\)가 단사이자 전사이면 \(T\)는 동형사상(isomorphism)이라 하고, \(W\)는 \(V\)와 동형(isomorphic)이라고 한다.
정리 8.3.1 540p
모든 \(n\)차원 실벡터공간은 \(R^n\)과 동형이다.
정리 8.3.2 541p
\(S\)가 벡터공간 \(V\)의 순서기저(ordered basis)라면, 좌표사상 \(u \xrightarrow{T} (u)_S \) 은 \(V\)와 \(R^n\)사이의 동형사상이다.
정리 8.3.3 544p
\(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)가 실 \(n\)차원 내적공간 \(V\)의 순서 정규직교기저라면, 좌표사상 \(u \xrightarrow{T} (u)_S \) 은 유클리드 내적을 갖는 \(V\)와 \(R^n\)의 내적공간 동형사상이다.
8.4 일반선형변환의 행렬
정리 8.4.1 553p
\(T_1:U \to V\)와 \(T_2:V \to W\)가 선형변환이고 \(B, B'', B'\)이 각각 \(U, V, W\)의 기저일 때, \([T_2 \circ T_1]_{B',B}=[T_2]_{B',B''}[T_1]_{B'',B}\) 이다.
정리 8.4.2 553p
\(T:V \to V\)이 선형 연산자이고 \(B\)가 \(V\)의 기저이면 다음은 동등하다. \((a)\quad T\)가 단사이다. \((b)\quad [T]_B\)가 가역이다. 또한 이 동등조건이 성립하면 \([T^{-1}]_B=[T]^{-1}_B\) 이다.
8.5 닮음
정리 8.5.1 559p
\(B\)와 \(B'\)이 유한차원 벡터공간 \(V\)의 기저이고 \(I:V \to V\)는 \(V\)상의 항등 연산자이면 \(P_{B \to B'}=[I]_{B',B}\)이고 \(P_{B' \to B}=[I]_{B,B'}\) 이다.
정리 8.5.2 560p
\(T:V \to V\)를 유한차원 벡터공간 \(V\)상의 선형 연산자라 하고 \(B\)와 \(B'\)을 \(V\)의 기저라 하자. 그러면 \([T]_{B'}=P^{-1}[T]_B P\) 이다. 여기서 \(P=P_{B' \to B}\)이고 \(P^{-1}=P_{B \to B'}\)이다.
정리 8.5.3 560p
\(V\)가 유한차원 벡터공간이라면, 두 행렬 \(A\)와 \(B\)가 (다른 기저에 대하여) 동일한 선형 연산자를 표현할 필요충분조건은 두 행렬이 닮은 것이다. 또한 \(B=P^{-1}AP\)라 하면, \(P\)는 행렬 \(B\)를 준 기저로부터 행렬 \(A\)를 준 기저로의 전이행렬이다.
8.6 행렬 연산자의 기하학
정리 8.6.1 566p
\(T:R^2 \to R^2\)가 가역행렬에 의한 행렬변환이면, \((a)\quad\)직선의 상은 직선이다. \((b)\quad\)원점을 지나는 직선의 상은 원점을 지나는 직선이다. \((c)\quad\)평행한 직선의 상은 평행한 직선이다. \((d)\quad\)점 \(P\)와 \(Q\)를 잇는 선분의 상은 \(P\)와 \(Q\)의 상을 잇는 선분이다. \((e)\quad\)세 점의 상이 어떤 직선 위에 놓이기 위한 필요충분조건은 그 점들이 어떤 직선 위에 놓여 있는 것이다.
정리 8.6.2 574p
\(E\)가 기본행렬이면, \(T_E:R^2 \to R^2\)는 다음 중 하나이다. \((a)\quad\)좌표축을 따라 층밀림 \((b)\quad y=x\)에 대한 반사 \((c)\quad\)좌표축을 따른 압축 \((d)\quad\)좌표축을 따른 확장 \((e)\quad\)좌표축에 대한 반사 \((f)\quad\)좌표축을 따라 압축 또는 확장 후 좌표축에 대한 반사
정리 8.6.3 574p
\(T_A:R^2 \to R^2\)가 가역행렬 \(A\)에 의한 곱셈변환이면, \(T_A\)의 기하적 효과는 층밀림, 압축, 확장, 반사를 적절히 반복하는 것과 동일하다.
9.1 LU-분해
정의 1 584p
정방행렬 \(A\)가 하삼각행렬 \(L\)과 상삼각행렬 \(U\)의 곱 \(A=LU\) 로 되는 인수분해를 \(A\)의 LU-분해(LU-decomposition) 또는 LU-인수분해(LU-factorization)라 한다.
정리 9.1.1 587p
\(A\)가 행교환 없는 가우스 소거법에 의해 행사다리꼴 \(U\)로 축소될 수 있는 정방행렬이면 \(A\)는 \(A=LU\)와 같이 인수분해될 수 있다. 여기서 \(L\)은 하삼각행렬이다.
9.2 거듭제곱법
정의 1 594p
행렬 \(A\)의 서로 다른 고유값이 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\)이고 \(\lvert \lambda_1 \rvert\)이 \(\lvert \lambda_2 \rvert\, \cdots, \lvert \lambda_k \rvert\)보다 크면 \(\lambda_1\)을 행렬 \(A\)의 우세 고유값(dominant eigenvalue)이라 한다. 우세 고유값에 대응하는 모든 고유벡터를 \(A\)의 우세 고유벡터(dominant eigenvector)라 한다.
정리 9.2.1 595p
\(A\)를 양의 우세 고유값 \(\lambda\)을 갖는 \(n \times n\) 대칭행렬이라고 하자. \(x_0\)가 \(\lambda\)에 대응하는 고유공간에 직교하지 않는 \(R^n\)의 단위벡터라면, 정규화된 거듭제곱수열 \(x_0, x_1=\frac{Ax_0}{\lVert Ax_0 \rVert}, x_2=\frac{Ax_1}{\lVert Ax_1 \rVert}, \cdots, x_k=\frac{AX_{k-1}}{\lVert Ax_{k-1} \rVert} \) 은 우세 단위고유벡터에 수렴하고, 수열 \( Ax_0 \cdot x_0, Ax_1 \cdot x_1, \cdots, Ax_k \cdot x_k, \cdots \) 는 우세 고유값 \(\lambda\)에 수렴한다.
정리 9.2.2 598p
\(A\)를 양의 우세 고유값 \(\lambda\)을 갖는 대칭 \(n \times n\) 행렬이라 하자. \(x_0\)가 \(R^n\)의 영이 아닌 벡터이고, \(\lambda\)에 대응하는 고유공간에 직교하지 않는다면, 수열 \(x_0, x_1=\frac{Ax_0}{max(Ax_0)}, x_2=\frac{Ax_1}{max(Ax_1)}, \cdots, x_k=\frac{AX_{k-1}}{max(Ax_{k-1})} \) 은 \(\lambda\)에 대응하는 고유벡터로 수렴하고, 수열 \( \frac{Ax_0 \cdot x_0}{x_0 \cdot x_0},\frac{Ax_1 \cdot x_1}{x_1 \cdot x_1}, \cdots, \frac{Ax_k \cdot x_k}{x_k \cdot x_k} \) 은 \(\lambda\)에 수렴한다.

9.4 특이값 분해
정리 9.4.1 610p
\(A\)가 \(m \times n\)행렬이면, \((a)\quad A\)와 \(A^TA\)는 같은 영공간을 갖는다. \((b)\quad A\)와 \(A^TA\)는 같은 행공간을 갖는다. \((c)\quad A\)와 \(A^TA\)는 같은 열공간을 갖는다. \((d)\quad A\)와 \(A^TA\)는 같은 랭크를 갖는다.
정리 9.4.2 611p
\(A\)가 \(m \times n\)행렬이면, \((a)\quad A^TA\)는 직교대각화 가능하다. \((b)\quad A^TA\)의 고유값은 음이 아니다.
정의 1 611p
\(A\)가 \(m \times n\)행렬이고, \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)이 \(A^TA\)의 고유값이라면 \(\sigma_1=\sqrt{\lambda_1}, \sigma_2=\sqrt{\lambda_2}, \cdots, \sigma_n=\sqrt{\lambda_n}\) 을 \(A\)의 특이값(singular values)이라고 한다.
정리 9.4.3 612p
특이값 분해(간단한 형태) \(A\)가 랭크가 \(k\)인 \(m \times n\)행렬이면 \(A\)는 \(A=U\Sigma V^T\)로 나타낼 수 있다. 이 때 \(\Sigma\)는 분할 형식 \( \Sigma = \begin{bmatrix} \begin{array}{c|c} D & 0_{k \times (n-k)} \\ \hline 0_{(m-k) \times k} & 0_{(m-k) \times (n-k)} \end{array} \end{bmatrix} \) 으로 나타낼 수 있는 \(m \times n\)행렬이다. 여기서 \(D\)는 연속된 대각성분이 증가하지 않는 순서로 처음 \(k\)개의 \(A\)의 특이값을 갖는 \(k \times k\) 크기의 대각행렬이고, \(U\)는 \(m \times n\)크기의 직교행렬, \(V\)는 \(n \times n\)크기의 직교행렬이다.
정리 9.4.4 613p
특이값 분해(확장된 형태) \(A\)가 랭크가 \(k\)인 \(m \times n\)행렬이라면 \(A\)는 \( A=U\Sigma V^T = [u_1 \quad u_2 \quad \cdots \quad u_k | u_{k+1} \quad \cdots \quad u_m ] \begin{bmatrix} \begin{array}{c|c} \begin{array}{cccc} \sigma_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &⋱& \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_k \\ \end{array} & 0_{k \times (n-k)} \\\hline 0_{(m-k) \times k} & 0_{(m-k) \times (n-k)} \end{array} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1^T\\ v_2^T\\ \vdots\\ v_k^T\\ \hline\\ v_{k+1}^T\\ \vdots\\ v_n^T \end{bmatrix} \) 와 같이 인수분해된다. 여기서 \(U, \Sigma, V\)는 크기가 각각 \(m \times m, m \times n, n \times n\)이다. 그리고 \((a)\quad V=\{v_1 \quad v_2 \quad \cdots \quad v_n\}\)은 \(A^TA\)를 직교대각화한다. \((b)\quad \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k\)가 \(V\)의 열벡터에 대응하는 \(A^TA\)의 영이 아닌 고유값일 때, \(\Sigma\)의 영이 아닌 대각성분은 \(\sigma_1=\sqrt{\lambda_1}, \sigma_2=\sqrt{\lambda_2}, \cdots, \sigma_n=\sqrt{\lambda_n}\)이다. \((c)\quad V\)의 열벡터는 \(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \gt 0\)을 만족하도록 배열되어 있다. \((d)\quad u_i=\frac{Av_i}{\lVert Av_i \rVert}=\frac{1}{\sigma_i}Av_i \quad (i=1,2,\cdots,k) \) \((e)\quad \{u_1,u_2,\cdots,u_k\}\)는 \(col(A)\)의 정규직교기저이다. \((f)\quad \{u_1,u_2,\cdots,u_k,u_{k+1},\cdots,u_m\}\)은 \(\{u_1,u_2,\cdots,u_k\}\)로부터 \(R^m\)의 정규직교기저로 확장한 것이다.