타원의 방정식 유도

타원의 정의: 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합



점 \((x,y)\)와 정점 \((-c,0)\)간 거리 \(d_1\)
점 \((x,y)\)와 정점 \((c,0)\)간 거리 \(d_2\)

이 두 거리의 합 \(d_1+d_2\)가 일정한 점 \((x,y)\)들의 집합이 타원인 것이다.

\(d_1+d_2\)를 구해보자.

점 \((x,y)\)가 오른쪽 제일 끝으로 가면 \((a,0)\)으로 가게된다.

정점 \((-c,0)\)과 \((a,0)\)의 거리 \(d_1=a-(-c)=a+c\)
정점 \((c,0)\)과 \((a,0)\)의 거리 \(d_2=a-c\)

\(d_1+d_2=(a+c)+(a-c)=2a\) ...(1)


이제, 점 \((x,y)\)가 점 \((b,0)\)에 있다고 하자.
이 때, \(d_1=d_2\)이며 \(d_1+d_2=2a\)이니, \(d_1=d_2=a\)이다.


윗 그림처럼 원점, 정점 \((c,0)\), 점 \((b,0)\)으로 구성된 직각 삼각형이 만들어지며,
피타고라스 정리에 의해 \(d_2^2=c^2+b^2\)이다.
즉, \(a^2=c^2+b^2\) 이며
\(b^2=a^2-c^2\) ... (2)

다시 아래 그림으로 돌아와서


(1)과 (2)를 가지고 타원의 방정식을 본격적으로 유도해 보자.

\(d_1+d_2=2a\)

\(\sqrt{(x-(-c))^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a\)

\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\)

\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)

\((x+c)^2+y^2=[2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}]^2\)

\(x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\)

\(x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2\)

\(2cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2cx\)

\(4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)

\(cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)

\([cx-a^2]^2=a^2[\sqrt{(x-c)^2+y^2}]^2\)

\(c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\)

\(c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\)

\(c^2x^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\)

\(a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2\)

\(x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\)

\(b^2=a^2-c^2\) ... (2)를 적용하면

\(x^2b^2+a^2y^2=a^2b^2\)

\(a^2b^2\)으로 나눠주면

\(\frac{x^2b^2}{a^2b^2}+\frac{a^2y^2}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2}\)

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Q.E.D.

만약 \(a\gt{b}\)이면 타원은 가로로 길쭉하고, \(a\lt{b}\)이면 세로로 길쭉해진다.

이 웹페이지를 통해 타원을 실제 그려볼 수 있다.

참고한 웹사이트